ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.

 

Составители: канд. физ.-мат.наук, доц. С.Б.Джиргалова,

асс.О.В. Киреева, асс. В.С.Тугульчиева

 

 

Методическое пособие предназначено в помощь студентам I курса специальности «Математика» факультета Математики и Физики для выполнения лабораторных работ по I части курса математического анализа.

 

 

Утверждено методической комиссией факультета Математики и Физики

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.

Понятие функции. Графики функций.

Опр.1. Пусть X и Y – два множества. Говорят, что имеется функция, определенная на X со значениями в Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу x X соответствует! элемент y Y. Это можно записать так: X Y или f: X Y или x f (x), где y= f (x), множество Х называется областью определения функции, а множество Y, состоящее из всех чисел вида y= f (x) – множеством значений функций.

Область определения функции f обозначается через D(f), а множество значений – E(f). Значение функции f (x) при x= a обозначают через f (a).

Опр.2. Графиком функции y= f (x) множество точек плоскости xOy с координатами ((x, f (x)),x X).

Опр.3. Функция f (x), область определения которой симметрична относительно нуля, называется четной, если f (x)= f (-x) для каждого х X. График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция f (x), область определения которой симметрична относительно нуля, называется нечетной, если f (-x)=- f (x) для каждого х. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Опр.4. Если функция f отображает множество Х в У и функция F отображает множество У во множество Z, то функция z= F (f (x)) называется функцией от функции или сложной функцией, суперпозицией f и F. Она определена на Х и отображает Х в Z. Возможна сложная функция, в образовании которой участвуют n-функций:

z= F (F (…(F (x))…))

При построении графиков функций применяются следующие приемы:

а) построение по точкам;

б) действие с графиком (сложение, вычитание, умножение графиков);

в) преобразование графиков (сдвиг, растяжение).

Зная график функции y= f (x), можно построить график функции:

1) y= f (x- a) – первоначальный график, сдвинутый вдоль оси OX на величину а;

2) y=c f (x) – тот же график, растянутый в с раз вдоль оси ОУ;

3) y= f (x)+b – тот же график, сдвинутый вдоль оси ОУ на величину b;

4) y= f (kx) – тот же график, растянутый в раз вдоль оси ОХ.

Пример 1. Найти область определения функции

f (x)= + .

Решение: область определения данной функции состоит из тех значений х, при которых оба слагаемых принимают действительные значения. Для этого должны выполняться два условия:

Т.о. областью определения функции является отрезок [1;6].

Пример 2. Найти множество значений функции y=3+2sinx.

Решение: Т.к. |sinx| 1 или -1£ sinx £1, то умножив все части последнего неравенства на 2, получим -2£ 2sinx £2. Прибавив ко всем частям последнего неравенства 3, будем иметь, 1£ 3+2sinx £5.

Таким образом, E(f)=[1;5].

Пример 3. Построить график функции:

а) y=x+cosx,

б) y=3sin(2x-1).

Решение: а) график данной функции можно построить путем сложения графиков 2-х функций у=х и у=cosx. График первой функции есть прямая, ее можно построить по 2-м точкам, а график 2-й функции - косинусоида;

- 3π

-π

-2π

- π

2π

3π

π

π

x

y

б) преобразуем данную функцию к виду y=3sin2(x- ). В качестве исходного берем график функции y=sinx. Строим график функции y=sin2x сжатием вдоль оси ОХ в 2 раза графика функции y=sinx. После этого строим график функции y=sin2(x- ) путем сдвига на вправо и путем растяжения в 3 раза вдоль оси ОУ последнего графика получим график исходной функции y=3sin2(x- ).

2π

π

π

- π

3π

-π

-2π

- 3π

 

ВАРИАНТЫ

1. Дана функция, найти ее значения в следующих точках:

1) f (x)=arccos(2x-1) 2) f (x)=

f (0), f (), f (1- a), f (2)? f (-1), f (1+ a), f (), f ()?

3) f (x)= 4) f (x)=

f (1), f (), f (- ), f (4)? f (2), f (0), f (0,5), f (-0,5), f (3)?

5) f (x)= 6) f (x)=

f (- ), f (0), f (), f ()? f (2), f (0), f (0,5), f (-0,5), f (3)?

7) f (x)= 8) f (x)=arcsin

f (-1), f (), f (), f (4), f (6)? f (0), f (1), f (), f (a)?

9) 10)

f (-1), f (0), f (-2), f (2)? f (0), f , f , f (2)?

11) 12)

f (-1), f , f , f (4)? f (2), f , f (-1), f ?

 

13) 14)

f (0), f (), f ()? f (-1), f , f , f (4)?

 

15) 16)

f (0), f , f , f (a)? f (-5), f (0), f (2), f (7)?

 

17) 18)

f (1), f (4), f (7), f (3)? f (-1), f (1), f (0), f ?

 

19) 20)

f , f (0), f (), f (- )? f (0), f (2), f (5), f (8)?

21) 22)

f , f (a +2), f , f ? f , f (3), f (7), f (-7)?

23) 24)

f (-1), f (5), f (-8), f (2)? f (0), f , f , f ?

25)

f (1), f (-1), f (0), f (a -7)?

 

2. Определить область определения функций:

1) f (x)= 2) f (x)=

3) f (x)= 4) f (x)=lg cosx

5) f (x)=arcsin 6) f (x)=

7) f (x)= +3arcsin 8) f (x)=

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25)

3. Найти область значений функции:

1) f (x)=|x|+1 2) f (x)=4

3) f (x)= 4) f (x)=1-2cosx

5) f (x)=(x-1) -2 6) f (x)=2 -1

7) f (x)= 8) f (x)=-x +8x-13

9) f (x)=x²-2x 10) f (x)=1-

11) f (x)=(x-3)²+9 12) f (x)=2 +3

13) f (x)=5cosx-3 14)

15) f (x)=3cos²x-2 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22) f (x)=|x|-5

23) 24)

25)

4. Установить четность и нечетность функций:

1) f (x)=tg(x-2), f (x)=xsinx

2) f (x)=|x+2|, f (x)=x lg cosx

3) f (x)=x -x, f (x)=cos5x

4) f (x)=x -2, f (x)=

5) f (x)=sin(x-1), f (x)=x -2

6) f (x)=|x|+2, f (x)=x sinx

7) f (x)=|x|-5e , f (x)=x +5x

8) f (x)=x +2sinx, f (x)=2 +2 ,

9) f (x)=x³+2sinx+ctgx, f (x)=x²-6x+2,

10) f (x)=-3x²+2cosx+3xsinx, ,

11) f (x)=3x|x|-2sinx+3tgx, ,

12) ,

13) ,

14) f (x)=|x+5|+|x-5|, f (x)=|x+3|-|x-3|,

15) f (x)=5x⁴-3x²+1, f (x)=8x³-7x,

16) ,

17) f (x)=(x-1)²+(x+1)², f (x)=(x-5)²-(x+5)²

18) f (x)=x³-x+1, ,

19) ,

20) ,

21) ,

22) ,

23) ,

24) .

25)

5. Построить график функции:

1) y=2 -1 2) y= +1

3) y=sinx+cosx 4) y=2x+

5) y= -2cos(2x+1) 6) y=sin(3x-2)+1

7) y=2x+1+cosx 8) y=2sin(2x-1)

9) 10)

11) 12) y=x²-2|x|-3

13) y=|x²+2x-3| 14)

15) 16)

17) 18) y=tg2x

19) y=tg|x| 20)

21) 22) y=|x|+x

23) y=x-1-|x-1| 24)

25) y=|3x-4|-x