Тема 5. Исследование поведения функции с помощью производных

 

Экстремум функции

5.1. Определить интервалы монотонности и исследовать на экстремум функции.

1) ; 2)

3) ; 4) .

Наибольшее и наименьшее значения функции

5.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

1) на отрезке [0;2]; 2) на отрезке [-3;0];

3) на отрезке ; 4) на отрезке .

Интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функций

5.3. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

 

Асимптоты графиков функций

5.4. Найти все асимптоты графиков функций.

1); 2); 3); 4).

Исследование функции и построение графика

5.5. Провести полное исследование поведения функции и построить график.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5); 6); 7); 8).

5.6. Постройте на отрезке [0;6] график функции , если:

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Тема 1. Функции двух переменных

Область определения функции двух переменных

1.1. Найти значения функции при заданных значениях аргументов.

1) , , ;

2) , , ;

3);,.

1.2. Найти и построить область определения функции двух переменных.

1) ; 2) ; 3)

Частные и полное приращения

1.3. Дана функция .

Найти частные приращения при переходе от точки соответственно к точкам , .

Найти полное приращение при переходе от точки к точке .

Линии уровня

1.4. Построить линии уровня функции двух переменных при заданных значениях .

1) , ;

2) , ;

3),.

Частные производные первого порядка

1.5. Найти частные производные 1-го порядка функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10).

1.6. Вычислить значения частных производных функции в точке.

1),; 2),.

Полный дифференциал и полное приращение функции

1.7. Найти полный дифференциал и вычислить его в точке .

1); 2).

1.8. Вычислить приближенно выражение, заменяя приращение функции дифференциалом.

1); 2).

Градиент функции

1.9. Найти градиент функции:

1) 2) 3)

1.10. Построить линии уровня и в точке А(1;2) для функций:

1); 2); 3).

Частные производные и дифференциалы второго порядка

1.11. Найти частные производные второго порядка. Убедиться в равенстве смешанных частных производных.

1) ; 2) ; 3) ;

4); 5).

1.12. Найти дифференциал второго порядка для функций.

1); 2); 3).