Качающийся ползун

В отличие от предыдущих – данный механизм (рис. 2.3) имеет 2-й класс. Для получения расчетных зависимостей воспользуемся методом векторных контуров,предложенным В.А. Зиновьевым [5, 9, 14, 18].

При решении задачи кинематического анализа этим методом, звенья механизма представляют в виде векторов. Поскольку в данном случае механизм замкнут через стойку, то они образуют замкнутые контуры. Составляют векторные уравнения замкнутости контуров, проецируют их на оси координат, получая системы алгебраических уравнений для определения кинематических параметров, характеризующих положение звеньев. Последовательно дифференцируя эти зависимости по времени, получают уравнения для определения скоростей и ускорений.

Получим решения для двух вариантов механизма, показанных на рис. 2.3.

Решение для варианта механизма, изображённого на рис. 2.3а.

Звено OAP, в общем случае может быть не прямым, а иметь “слом”, характеризующийся углом b (см. рис. 2.3). Обобщенной координатой является перемещение звена 2 относительно звена 1, обозначим его S. Уравнение замкнутого векторного контура:

(2.1)

Проецируя его на оси X₀Y₀ имеем:

(2.2)

l 11 cos j11 + l 12 cos j12 – l 21 sin j2 + l 22 cos j2 + l 23 sin j2 – l 3x = 0

l 11 sin j11 + l 12 sin j12 + l 21 cos j2 + l 22 sin j2 – l 23 cos j2 – l 3y = 0

Для получения явного решения этой системы рассмотрим схемы на рис. 2.4, 2.5 и найдем сначала решение в случае, когда отсутствует “слом” в точке A и смещения BC и DE. Решение будем искать в системе координат OXY, естественной для данного механизма.

Запишем уравнения окружностей: первая радиусом OB с центром в начале координат, вторая радиусом BE с центром в шарнире E:

(2.3)

(2.4)

Отсюда получаем координаты шарнира B в системе OXY:

где , x _E, y _E – координаты опоры Е в системе OX₀Y₀.

(2.5)

Двузначность в выражении для y _B указывает на наличие двух сборок механизма. Сборку, показанную на рис. 2.4 принято называть прямой, ей соответствует знак плюс, а показанную на рис. 2.5 – обратной, ей соответствует знак минус. Тогда, углы поворота звеньев ОВ и СЕ в системе OXY:

2.6)

(2.6)

Углы поворота этих звеньев в системе OX₀Y₀ при отсутствии “слома” и смещений:

При наличии “слома” и смещений:

j₁₁ = j₁ + d = j₁ + arcsin(sin b (l ₁₂/ l ₁)),

j₂ = j₂₀ + arcsin((DE – l ₂₁)/BE).

 

 

Продифференцируем систему (2.2) по времени:

– l ₁₁w₁ sinj₁₁ + v ₁ cosj₁₂ – l ₁₂ w₁ sinj₁₂ – l ₂₁ w₂ cosj₂ – l ₂₂ w₂ sin j₂ + l ₂₃w₂ cosj₂ = 0

l ₁₁w₁ cosj₁₁ + v ₁ sin j₁₂ + l ₁₂w₁ cosj₁₂ – l ₂₁ w₂ sin j₂ + l ₂₂ w₂ cosj₂ + l ₂₃ w₂ sinj₂ = 0

(2.7)

где

– обобщенная скорость.

Отсюда находим угловые скорости w₁, w₂.

(2.8)

Дифференцируя систему (2.7) и приводя подобные члены получим уравнения для определения угловых ускорений e1, e2:

где – обобщенное ускорение.

Отсюда находим угловые ускорения e₁, e₂.

Величину l ₁₂ удобно разделять на две части: где – длина АВ, когда рабочий ход входного ползуна S_P = 0.

Решение для варианта механизма, изображённого на рис. 2.3б. будем искать в системе координат OXY, естественной для данного механизма.

Контур OAC, содержащий рабочий ползун, в общем случае может иметь смещения l ₁₁, l ₂₂ (см. рис. 2.3), что влияет на величину угла j₂₁. Обобщенной координатой этого механизма является перемещение звена 2 относительно звена 1, обозначим его S. Тогда длина вектора l _S = l ₀ + S, где l ₀ – расстояние от точки A до того положения ползуна P, в котором S = 0.

Для получения явного решения рассмотрим DOCB. В нем известны длины всех сторон, так как l ₂ = (l _S + l ₂₁) cosb, где b = arcsin((l ₂₂ – l ₁₁)/(l _S + l ₂₁)) – угол, между векторами l ₂ и l ₂₁. Если обозначить p – полупериметр DOCB, то

j₂ = ±2arctg(r /(p – l ₃₂)); j₂₁ = j₂ ± b; j₃ = 2arctg(r /(p – l ₂));

где .

Знак “+” в выражениях для j₂ и j₂₁ соответствует прямой сборке механизма, изображенной на рис. 2.3, а знак “–” – для обратной, когда точка C располагается ниже оси X. Угол j₃₂ = 2p – j₃ – для прямой сборки, и j₃₂ = j₃ – для обратной.

Для нахождений угловых скоростей w₂₁, w₃₂ и ускорений e₂₁, e₃₂ запишем уравнение замкнутого векторного контура:

(2.1*)

 

Проецируя его на оси системы OXY имеем:

(2.2*)

– l ₁₁ sin j₂₁ + l _S2 cos j₂₁ + l ₂₂ sin j₂₂ + l ₃₂ cos j₃₂ – l ₄ = 0;

l ₁₁ cos j₂₁ + l _S2 sin j₂₁ – l ₂₂ cos j₂₂ + l ₃₂ sin j₃₂ = 0,

где l _S2 = l _S + l ₂₁.

Продифференцируем систему (2.2*) по времени:

l ₁₁w_S2 cos j₂₁ + v _S2 cosj₂₁ – l _S2 w_S2 sinj₂₁ + l ₂₂ w_S2 cosj₂₁ – l ₃₂ w₃ sin j₃₂ = 0

– l ₁₁w_S2 sin j₂₁ + v _S2 sin j₂₁ + l _S2 w_S2 cosj₁₂ + l ₂₂ w_S2 sin j₂₁ + l ₃₂ w₃ cos j₃₂ = 0

(2.3*)

где

– обобщенная скорость.

 

Отсюда находим угловые скорости w₂, w₃.

Дифференцируя систему (2.3*) и приводя подобные члены получим уравнения для определения угловых ускорений e₂, e₃:

e_S2 (l ₁₁ cos j₂₁ – l _S2 sin j₂₁ + l ₂₂ cos j₂₁) – l ₃₂ e₃ sin j₃₂ =

= l ₁₁w_S2² sin j₂₁ – a _S2 cos j₂₁ + 2 v _S2 w_S2 sin j₂₁ + l _S2 w_S2² cos j₂₁ + l _S2 w_S2² sin j₂₁ +

+ l ₃₂ w₃² cos j₃₂,

e_S2 (– l ₁₁ sin j₂₁ + l _S2 cos j₂₁ + l ₂₂ sin j₂₁) + l ₃₂ e₃ cos j₃₂ =

= l ₁₁w_S2² cos j₂₁ – a _S2 sin j₂₁ – 2 v _S2 w_S2 cos j₂₁ + l _S2 w_S2² sin j₂₁ – l _S2 w_S2² cos j₂₁ +

+ l ₃₂ w₃² sin j₃₂,

e_S2 ((l ₁₁ + l ₂₂) cos j₂₁ – l _S2 sin j₂₁) – l ₃₂ e₃ sin j₃₂ =

= (l ₁₁w_S2 + 2 v _S2 + l _S2 w_S2) w_S2 sin j₂₁ + (– a _S2 + l _S2 w_S2²) cos j₂₁ + l ₃₂ w₃² cos j₃₂,

e_S2 ((l ₂₂ – l ₁₁) sin j₂₁ + l _S2 cos j₂₁) + l ₃₂ e₃ cos j₃₂ =

= (l ₁₁w_S2 – 2 v _S2 – l _S2 w_S2) w_S2 cos j₂₁ + (– a _S2 + l _S2 w_S2²) sin j₂₁ + l ₃₂ w₃² sin j₃₂,

(2.4*)

где

– обобщенное ускорение.

 

По найденным j₂₁, j₃₂, w_S2, w₃, e_S2, e₃ методом преобразования координат, описанным в следующей главе, можно определить параметры движения любых точек на звеньях входных механизмов, в частности тех, в которых к ним присоединяются структурные группы. Эти величины и будут входными кинематическими параметрами для расчета структурных групп.