Формулы дифференцирования1. (u a(x))' = a u a-1(x) u '(x), в частности, (1 /u (x)) ' = -u' (x) /u 2(x), ( 2. (loga u (x))' = (u'(x)logae)/u(x) при 0<a≠1, u(x)>0, в частности, (ln u (x))' = u'(x)/ u (x); 3. (a u (x))' = a u (x)ln a u '(x) при 0<a≠1, в частности, (e u (x))' = u'(x)e u (x); 4. (sin u (x))' = cos u (x) u '(x); 5. (cos u (x))' = -sin u (x) u '(x); 6. (tg u (x))' = u '(x)/cos2 u (x) x≠ p/2+p n, n=0,+-1,...; 7. (ctg u (x))' = - u '(x)/sin2 u (x) x≠ p n, n=0,+-1,...; 8. (arcsin u (x))' = u '(x)/ 9. (arccos u (x))' = - u '(x)/ 10. (arctg u (x))' = u '(x)/(1+ u 2(x)); 11. (arcctg u (x))' = - u '(x)/(1+ u 2(x)). Введем гиперболические функции: sh x = (1 / 2)(ex-e-x)- гиперболический синус; ch x = (1 / 2)(ex+ex)- гиперболический косинус; th x = sh x/ ch x -гиперболический тангенс; cth x = ch x/ sh x - гиперболический котангенс. Из определения гиперболических функций элементарно вытекают следующие формулы для нахождения их производных. 1. (sh x) ' = ch x; 2. (ch x) ' = sh x; 3. (th x) ' = 1 / ch2 x; 4. (cth x) ' = - 1 / sh2 x. Пример1. Найти y', если 1. y(x) = x3arcsin x.
2. y(x) = ln sin (x2+1). y' = (2 x cos(x 2+1)) / sin(x 2+1) = 2 x ctg (x 2+1) Замечание. Производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.
|
) ' = u' (x) / 2 
, -1< u (x)<1;
