Примеры

Задача 1. Сколько молекул кислорода находится в объеме 1 л при температуре 0° С и давление 133,3 Па?

Решение

Воспользуемся формулой, выражающей давление газа через концентрацию молекул

= .

Откуда искомое число частиц

.

После подстановки значений, получим:

Задача 2. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p₁=1 MПа и температуре T₁=300 К. После того как из баллона было взято m=10 г гелия, температура в баллоне понизилась до T₂=290 К. Определить давление p₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение

Выразим искомое давление из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

.

Массу гелия в баллоне в конечном состоянии m₂ выразим через массу m₁, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона

.

Массу m₁ можно выразить из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

.

С учетом этого выражения масса m₂

.

Окончательно для искомого уравнения имеем:

,

или

.

После подстановки значений, получим:

Задача 3. Определить давление и молекулярную массу смеси газов, состоящей из 10 г кислорода (О₂) и 10 г азота (N₂), которые занимают объем 20 л при температуре 150° С.

Решение

По закону Дальтона давление смеси газа

,

где парциальное давление p_i каждого газа можно выразить из уравнения Менделеева-Клапейрона

_.

 

Тогда давление смеси

.

После подстановки значений, получим:

Молярную массу смеси выразим через массу и количество вещества смеси газа

После подстановки значений, получим:

 

 

Задача 5. Давление газа равно 10⁴ Па, а средняя квадратичная скорость равна 500 м/c. Найти плотность r этого газа.

Решение

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории может быть представлено следующим образом:

.

Следовательно,

кг/м³.

Задача 4. Какая часть молекул воздуха (M=29·10^-3 кг/моль) при температуре 17°С обладает скоростями, отличающимися не более чем на 0,5 м/с от скорости u = u_В?

 

Решение

Наиболее вероятная скорость

.

Относительная скорость и относительная величина интервала

; = 1,2×10^-3.

Поскольку можно считать, что ,

и согласно распределению Максвелла

.

Задача 6. Найти отношение числа молекул газа, скорости которых лежат в интервале от u до (u+ ) при температуре Т₁ к числу молекул, скорости которых лежат в том же интервале при температуре Т₂ = 2Т₁. Считать, что , .

Решение

Согласно распределению Максвелла, учитывая, что , число молекул газа, скорости которых лежат в интервале от u до (u+ ) в первом и втором случаях:

, ,

где

, ;

, .

Найдем отношение числа молекул газа:

.

Задача 7. На какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха уменьшается в 2 раза? Температура воздуха 0° С. Считать, что температура воздуха Т, молярная масса M и ускорение силы тяжести g не зависят от h.

Решение

Исходя из определения плотности и с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона имеем

.

Давление воздуха на высоте h в соответствиис барометрической формулой равно

.

Таким образом, плотность воздуха на высоте h дается выражением

.

После логарифмирования и преобразования данного выражения, получим окончательно

=5,4 км.

Задача 8. Определить массу m газа, заключенного в вертикальном цилиндрическом сосуде. Площадь основания сосуда S, высота h. Давление газа на уровне нижнего основания цилиндра p₀, температура газа Т, молярная масса газа M. Считать, что Т и g не зависит от h.

Решение

Поскольку давление, а, следовательно, и плотность газа, заключенного в вертикальном сосуде, зависит от высоты, то массу газа необходимо находить путем интегрирования выражения

.

С учетом того, что плотность газа уменьшается с высотой согласно закону , получим

.

Приведем данный интеграл к табличному виду, используя метод замены переменной:

, где .

Откуда

.