Проецирование точки в системе 3-х плоскостей проекций. Построение наглядного изображения и эпюра точки по координатам.

Точка – одно из основных понятий геометрии. В современной математике точками называют элементы различной природы, из которых состоят пространства, например, в евклидовом пространстве точкой называют упорядоченную совокупность из n чисел. В начертательной геометрии положение точки в пространстве можно определить еѐ координатами. Замечательным признаком является то, что координата, характеризующая удаление точки от плоскости проекций, одно-имѐнна с осью, которая не присутствует при образовании этой плоскости проекций. Так, удаление точки от П₂ измеряется координатой Y, а сама фронтальная плоскость проекций П₂ образуется пересечением осей OХ и OZ. Таким образом, каждая из трѐх проекций точки характеризуется двумя координатами, их название соответствует названиям осей, которые образуют соответствующую плоскость проекций: горизонтальная –A₁(X_A; Y_A); фронтальная – A₂(X_A; Z_A); профильная – A₃(Y_A; Z_A). Трансляция координат между проекциями осуществляется с помощью линий связи. Так, в системе плоскостей проекций П₁П₂ общая для фронтальной и горизонтальной проекций координата x транслируется вертикальной линией связи А₂А₁, перпендикулярной оси OХ. По двум данным проекциям можно построить проекции точки либо с помощью координат, либо графически. Графически профильную проекцию строят, транслируя параметр Z горизонтальной линией связи, проведѐнной из фронтальной проекции, а параметр Y переносят с горизонтальной проекции, используя постоянную прямую чертежа k – биссектрису угла расщеплѐнной оси: Y₁ОY₃, на которой горизонтальная линия связи, проведѐнная из горизонтальной проекции перпендикулярно OY₁, преломляется под прямым углом. При этом у начала координат формируетсяквадрат со стороной, равной координате Y оригинала, что обеспечивает передачу координаты Y между горизонтальной и профильной проекциями. В табл. 3.1 и 3.2 представлены общие алгоритмы построения точки А по координатам в пространственной модели системы трѐх плоскосте проекций П₁П₂П₃ и на комплексном чертеже.

Положение точки в пространстве относительно плоскостей проекций определяется еѐ координатами. Координатой Х определяется удалѐнность точки от плоскости П3 (проекция на П2 или П1), координатой

У – удалѐнность от плоскости П2 (проекция на П3 или П1), координатой Z – удаленность от плоскости П1 (проекция на П3 или П2). В зависимости от значения этих координат точка может занимать в пространстве как

общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций(рис. 3.1).

Точка общего положения. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов (табл. 2.1). На рис. 3.2 даны чертежи точек общего положения. Анализ их изображений позволяет сделать вывод, что они располагаются в следующих октантах пространства: А(+X;+Y; +Z I октанту; B(+X;+Y;-Z IV октанту; C(-X;+Y; +Z V октанту; D(+X;+Y; +Z II октанту.

Точки частного положения. Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле проекций, другие две – на осях проекций. На рис. 3.3 такими точками являются точки А, В, C, D, G. A П3,то точка ХА=0; В П3,то точка ХВ=0; С П2,то точка YC=0; D П1,то точка ZD=0.

Точка может принадлежать сразу двум плоскостям проекций, если она лежит на линии пересечения этих плоскостей – оси проекций. У таких точек не равна нулю только координата на этой оси. На рис. 3.3 такой точкой является точка G (G OZ, то точка ХG=0, YG=0).