Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений СВ и ее мат. ожиданием.
Теор.: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к ее мат. ожиданию. Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого напомним смысл термина «сходится по вероятности». Говорят, что СВ Хn сходится по вероятности к величине а, если при увеличении n вероятность того, что Хn и а будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом n P(|Хn – a|<ε)>1 – δ, где ε, δ – произвольно малые положительные числа. Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, что при увеличении n среднее арифметическое 
сходится по вероятности к mx, т.е. P(| - mx|<ε)> 1 – δ. Докажем это нер-во. Величина Y = имеет числовые хар-ки my = mx; Dy = Dx/n. Применим к СВ Y нер-во Чебышева, полагая, что α = ε: P(|Y - my| ≥ε) ≤ Dy/ε2 = Dx/n ε2. Как бы мало ни было число ε, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось нер-во Dx/n ε2<δ, где δ – сколь угодно малое число. Тогда P(| - mx|≥ε) <δ, откуда, переходя к противоположному событию, имеем: P(| - mx|<ε)> 1 – δ, что и требовалось доказать.
