Уравнение баланса кинетической энергии

Известная из курса теоретической механики теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек устанавливает, что производная по времени от кинетической энергии системы материальных точек равна сумме мощностей внешних и внутренних сил.

Для сплошной среды эта теорема обобщается в следующем виде: индивидуальная производная по времени от кинетической энергии движущегося объема среды равна сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на выделенную массу.

(103.23)

где первый интеграл в правой части представляет собой мощность внешних объемных сил, второй интеграл – мощность внешних поверхностных сил, сумма этих интегралов равна , третий интеграл – мощность внутренних сил ( – плотность распределения мощности внутренних сил). Уравнение (103.23) является уравнением баланса кинетической энергии в интегральной форме.

Для получения дифференциальной формы записи уравнение (103.23) преобразуется следующим образом:

используя тождество

и формулу Остроградского-Гаусса ,

из (103.23) получаем:

Ввиду произвольности объема приравниваем к нулю подынтегральную функцию. Тогда получим уравнение баланса кинетической энергии в дифференциальной форме.

(113.24)

Умножим скалярно уравнение движения в напряжениях (83.21) на вектор скорости :

(123.25)

Почленно вычтем (123.25) из (113.24) и получим:

(133.26)

Воспользуемся тождествами

где – диада (тензор) вектора скорости с компонентами , ().

Тогда из (133.26) получим:

(143.27)

Разложим на симметричную часть – тензор скоростей деформаций с компонентами

и антисимметричную часть – тензор ротации поля скорости с компонентами

При этом

Тензор напряжений – симметричный тензор. Произведение симметричного тензора на антисимметричный тензор равно нулю: и из (143.27) получаем выражения плотности распределения внутренних сил как свертку, то есть произведение тензора напряжений на тензор скоростей деформаций.

(153.28)

Уравнение баланса кинетической энергии (113.24) с учетом (153.28) запишется в виде:

(163.29)