Побудова параметричних схем математичних моделей

Таблиця 1

Значення В2 - 4АС	Тип рівняння	Приклад використання
< 0	Еліптичне	Рівняння Лапласа Використовує дві просторові змінні
= 0	Параболічне	Рівняння теплового стану Використовує змінну часу і просторову змінну
> 0	Гіперболічне	Рівняння хвиль Використовує змінну часу і просторову змінну

 

Для рішення кожного виду приведеного рівняння використовуються відомі числові методи рішення з розробленими для них алгоритмами. Кожен вид рівняння використовується для опису специфічної інженерної задачі.

Еліптичне рівняння характеризує об’єкт, який описує, в двох координатній системі простору. При цьому опис виконується для статичних об’єктів, де змінна часу відсутня. Модель дає змогу дослідити розподіл основного параметра у двох координатному просторі.

Рис. 4.1. Приклади використання моделі еліптичного типу

 

Прикладом з теплообміну може бути підігрівання пластини з двох боків, або охолодження ребра холодильника (рис. 4.1.а). Модель дає змогу визначити розподіл температур по зоні, температурний потенціал і відтік тепла від зони нагрівання до зони охолодження.

Еліптичне рівняння також дає змогу описати потік рідини навколо заслінки, або в зоні звуження, потенціал електричного поля біля провідника (рис. 20б і в), концентрацію сухих речовин суспензії по перетині фільтра та ін.

Параболічне рівняння на відміну від рівняння еліптичного типу вказує як основний параметр моделі змінюється одночасно в часі і просторі.

Простим прикладом використання цієї моделі є визначення розподілу температури вздовж тонкого металевого стержня закріпленого з двох боків. На кінці стержня подається фіксована температура. В цьому випадку є тільки одна координата простору – довжина. Вважається, що у всіх точках на перетині стержня температура однакова. Рішенням задачі є зміна температурного стану по довжині стержня на протязі деякого часу. На рис. 21 показано а) - схема стержня і б) – криві зміни температури по довжині стержня в різні моменти часу.

Рис. 4.2. Динаміка розподілу температур в параболічній моделі

 

Подібні рівняння можуть бути використані при моделюванні інших процесів, наприклад, процесу фільтрування соку через шар осаду (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Динаміка зміни концентрації на фільтрі в параболічній моделі

 

Процес фільтрування описується рівнянням Дарсі:

, (4.9)

де х - координата вздовж фільтрувального шару, С - концентрація твердих частинок в суспензії, D - коефіцієнт дифузії.

На рис. 4.3.б показана динаміка зміни концентрації твердих частинок в суспензії вздовж фільтрувального шару.

Гіперболічні рівняння є диференційними рівняннями другого порядку по часу з частинними похідними. Ними описуються коливання різних хвиль. Прикладом такого є рівняння, яке описує коливання струни. До моделей, які можуть описуватись гіперболічним рівнянням відносяться моделі мостів і балок під час розгойдування, хвильові потоки води, коливання електричних імпульсів та ін.

 

4.3.Рішення диференційних рівнянь другого порядку в частинних похідних

 

Розв’язання диференційних рівнянь другого порядку в частинних похідних виконується методом кінцевих різниць. Для цього апарат, або технологічний об’єкт розбивається на зони. Розглянемо цей метод на прикладі розв’язання параболічної моделі тонкого стержня, який нагрівається з одного боку (рис. 4.4). Ця модель описується відомим рівнянням (4.7)

Рис. 4.4. Розв’язання задачі з параболічною моделлю поділом на зони

 

Розіб’ємо умовно стержень на n зон з довжиною зони Dх = х/n, де х - довжина стержня. Допустимо, що кожна зона це об’єкт із зосередженими параметрами і температура у всіх точках і-ї зони Т_і рівна. Між зонами відбувається теплообмін. Параметрична схема передачі тепла між зонами показана на рис. 4.4в.

Розглянемо процес теплообміну між зонами на прикладі і-ї зони. Передача тепла від і-1-ї до і-ї зони записується рівнянням теплового потоку:

, (4.10)

а від і+1-ї до і-ї зони рівнянням теплового потоку:

(4.11)

Складемо рівняння теплового балансу в і-й зоні, вважаючи, що тепло зони дорівнює:

(4.12)

В динамічному режимі це буде описано диференційним рівнянням:

, (4.13)

яке після спрощення матиме вигляд:

, (4.14)

де: l_і - коефіцієнт теплопровідності, r_і - питома вага стержня, С_і - коефіцієнт теплоємкості, S - площа поперечного перетину стержня.

Склавши рівняння теплового балансу для кожної і-ї зони, де і= 1,..,n, отримаємо систему із n диференційних рівнянь першого порядку, яка розв’язується відомими методами, наприклад методом Рунге-Кутта.

Розв’язання задачі з еліптичною моделлю, де основний параметр змінюється по двох просторових координатах виконується подібно. Просторовими координатами моделі можуть бути довжина і висота апарату - х, у (рис. 4.5а) або довжина і радіус апарату - х і R (рис. 4.5б).

Рис. 4.5. Розбиття об’єкту, що описаний еліптичною моделлю, на зони

Такі моделі виникають при дослідженні зміни кривої швидкості потоку у апараті (рис. 4.5.а) або зміни концентрації продукту в циліндричному апараті (рис. 4.5.б).

Побудова параметричних схем математичних моделей

 

Параметричні схеми математичних моделей показують внутрішню наповненість математичної моделі, ті формули, якими описаний зв’язок між вхідними і вихідними параметрами. В них відображена послідовність обчислення проміжних змінних моделі і зв’язок формул між собою. Тут показані причинно-наслідкові зв’язки між змінними, які відображають механізм фізичних і хімічних явищ технологічного процесу.

Правильно складена параметрична схема моделі дає змогу легко скласти алгоритм обчислення моделі, який при використанні ітераційних обчислювальних циклів має збіжність і дає правильний результат.

 

4.4.1. Моделювання гідродинаміки в ємності з рідиною

 

Розглянемо ємність в яку поступає G₁ і з якої витікає рідина G₂ (рис. 4.6а). Розглянемо просту задачу визначення рівня рідини в ємності в любий момент часу t. На основі рівняння матеріального балансу можна записати, що швидкість накопичення рідини в ємності дорівнює різниці між рідиною яка поступає і витікає:

, (4.15)

а так як площа поперечного перетину ємності S постійна, то об’єм рідини дорівнює: , де h - рівень рідини. Враховуючи останнє, рівняння (4.15) запишемо:

(4.16)

 

Параметрична схема математичної моделі матиме вигляд показаний на рис. 4.6б. Тут S – вхідний параметр, h - вихідний, а G₁, G₂ - параметри керування.

Рис. 4.6. Параметрична схема моделі ємності з рідиною

 

Зробимо модель більш складнішою. Будемо вважати, що потік рідини з витратами G₁ проходить до ємності через кран із середовища з тиском Р₁, і поступає з витратами G₂ також через кран в середовище з тиском Р₃ (рис. 4.7а). В ємності, біля місця де поступає рідина, тиск залежить від рівня рідини в ємності h і атмосферного тиску Р₀ і дорівнює Р₂:

Р₂ = Р₀ + rh, (4.17)

де r - густина рідини.

Значення витрат рідини будемо рахувати по формулах:

, (4.18)

де k₁ i k₂ - коефіцієнти можливостей пропускання кранами.

Параметрична схема вдосконаленої математичної моделі представлена на рис. 4.7б. Тут показана послідовність обчислень змінних в моделі і взаємозв’язок між формулами. Вхідними параметрами моделі є: S, r, k₁ i k₂, вихідними: G₁, G₂, h i P₂, а параметрами керування: Р₁, Р₃, і Р₀.

Рис. 4.7. Параметрична схема моделі ємності з рідиною з урахуванням

впливу рівня рідини на витрати

 

Можливий випадок використання герметичної ємності. Тоді тиск над поверхнею Р₀ буде змінюватись в залежності від рівня рідини в ємності (рис. 4.8а). Якщо вважати, що газ в ємності підкорюється закону для ідеальних газів, тоді:

, (4.19)

де R - універсальна газова постійна, V_г - об’єм, Т_г - температура і М - маса газу.

Якщо зробити припущення, що процес розширення або стискування газу проходить ізотермічно при Т_г = const, тоді об’єм газу буде дорівнювати:

V_г = V₀ - Sh, (4.20)

де V₀ - об’єм ємності.

На рис. 4.8б показана вдосконалена параметрична схема математичної моделі гідравлічної ємності з урахуванням її герметичності. До вхідних параметрів добавились змінні: V₀, M, R, T_г , до вихідних проміжна величина: V_г, а параметр керування Р₀ став вихідним параметром, тому що обчислюється в межах моделі.

Рис. 4.8. Параметрична схема моделі герметичної ємності з рідиною

 

4.4.2. Моделювання теплообміну в ємності ідеального змішування з підігріванням

Гідродинамічну математичну модель ємності можна доповнити моделлю теплообміну. На рис. 4.9а показана ємність з паровою сорочкою, де тиск пари регулятором тиску підтримується постійним. Матеріальний баланс в ємності описується вже раніше приведеним рівнянням (4.15). Тепловий баланс описується аналогічно матеріальному рівнянням:

, (4.21)

де: Q₁ - тепло рідини, яке поступає у ємність Q₁= G₁CrT₁, Q₂ - тепло рідини, яке виходить з ємності Q₂= G₂CrT₂, q - тепло, яке міститься в ємності q = VCrT₂, Q_п - тепло, яке переходить від пари до рідини в ємності через поверхню теплообміну F і описується рівнянням:

. (4.22)

Рис. 4.9. Параметрична схема моделі теплообміну в ємності

ідеального змішування

 

Після підстановки приведених рівнянь формула (4.21) запишеться:

, (4.23)

де: Т₁, Т₂, Т_п - відповідно температура рідини на вході, в ємності і пари, С - теплоємність рідини, r - густина рідини, k - загальний коефіцієнт теплопередачі, V - об’єм рідини в ємності. Температура пари в паровій сорочці є функцією тиску пари Р_п. Запишемо цю відому залежність в загальному вигляді: Т_п =f(P_п). Тиск пари підтримується на необхідному рівні регулятором тиску.

По приведеним рівнянням складемо параметричну схему математичної моделі об’єкту (рис. 4.9б). Вхідними параметрами моделі будуть: F, С, r, k, вихідними: Т₂, Т_п, Q_п і V, а параметрами керування: G₁, G₂, Т₁, P_п. Таке розташування рівнянь в параметричній схемі моделі дає змогу послідовно обчислити матеріальний баланс моделі і визначити об’єм рідини в ємності V, із рівняння теплопередачі визначити тепло Q_п, яке передається від пари до рідини, і із теплового балансу визначити температуру в ємності Т₂. Значення температури пари в залежності від тиску може бути описане у вигляді функції, або апроксимоване по даних таблиці.