Определение напряжений в массиве грунта при действии единичной вертикальной силы N, приложенной к границе грунтового основания.

Решение задачи Буссинеска. Основано на следующих гипотезах (впоследствии подтвержденных точными решениями):

а) нормальные напряжения на площадках, касательных к сферической поверхности с центром в точке приложения силы, являются главными напряжениями. По этой причине касательные напряжения на указанных площадках отсутствуют;

б) нормальные напряжения, лежащие в вертикальной плоскости, на площадках, нормальных к сферической поверхности с центром в точке приложения силы, равны нулю;

в) нормальные напряжения на площадках, касательных к сферической поверхности с центром в точке приложения силы, прямо пропорциональны косинусу угла видимости и обратно пропорциональны квадрату радиуса сферы. Под углом видимости понимается угол между радиусом сферы, проведенным в центр площадки, и центральной вертикальной осью сферы.

Постулированные гипотезы позволяют получить замкнутые аналитические решения о распределении напряжений в полупространстве от действия вертикальной силы на его границе, основанные исключительно на уравнениях равновесия. Решение задачи поясняется графическими построениями на рис. 4.5, на котором представлены вертикальный разрез полупространства и его сечения горизонтальными плоскостями.

Начало прямоугольной декартовой системы координат разместим в точке приложения вертикальной силы Р на границе полупространства. Ось z направим по вертикали вниз, ось x – по горизонтали вправо, а ось y – перпендикулярно плоскости чертежа. Относительно начала осей координат построена полусфера радиусом R, пересечение которой с вертикальной плоскостью, проходящей через центральную ось, образует полуокружность такого же радиуса. В сечении полусферы горизонтальной плоскостью на глубине z образуется окружность радиусом r. Угол видимости радиуса r на вертикальном разрезе обозначим β.
В сечении полусферы горизонтальной плоскостью на глубине z – dz образуется окружность радиусом r + dr с углом видимости на вертикальном разрезе β + d β. Рассмотрим равновесие сферического кольца, выделенного из полусферы двумя горизонтальными плоскостями на глубине z и z – dz. С учетом того, что длина образующей сферического кольца равна R∙d β, площадь его поверхности определится формулой: S = 2 ⋅π⋅ r ⋅ R ⋅ d β. На поверхности сферического кольца действуют нормальные напряжения σ_R, а касательные напряжения, в соответствии с гипотезой а), отсутствуют. Найдем напряжения σ_R из условия равновесия проекций всех сил, действующих по поверхности полусферы радиусом R, на вертикальную ось z.

 

 

Рис. 4.5. Графическое построение к решению задачи Буссинеска

 

Условие равновесия:

 

(4.1)

 

В соответствии с гипотезой в), σ_R = A cosβ/ R 2. Кроме этого, r = R ⋅ sinβ. Подставляя в уравнение (3.1) выражения для σ_R и r и выполняя преобразования, получим:

 

(4.2)

 

Выполняем замену переменных в уравнении (4.2): u = cosβ, du = − sinβ ⋅ d β. Продолжая преобразования, получим выражение для неопределенного коэффициента А:

 

; (4.3)

 

 

Выразим cosβ через ординату z: cosβ = z / R. С учетом этого, формула для определения напряжения σ_R будет иметь вид

 

. (4.4)

 

Практический интерес представляют напряжения на горизонтальной площадке, наклоненной к площадке, на которой действуют напряжения σ_R, под углом β. В соответствии с гипотезой б) главный вектор напряжений на горизонтальной площадке σ′_R совпадает по направлению с вектором напряжения σ_R, а его модуль равен σ′_R = σ_R ⋅ cosβ. Проекции главного вектора напряжений σ′_R на координатные оси являются компонентами тензора напряжений на горизонтальной площадке. Поскольку главный вектор напряжений σ′_R совпадает по направлению с радиусом вектором R, направляющие косинусы вектора напряжений определяются формулами:

 

. (4.5)

 

С учетом полученных выше зависимостей, компоненты тензора напряжений на
горизонтальной площадке будут определяться формулами

 

; (4.6)

 

.

Формулу для σ_z обычно табулируют. Для этого выполняют следующие преобразования:

 

(4.7)

, (4.8)

 

В дальнейшем для практических расчетов расчетную схему задачи приводят к более простому виду (рис. 4.6). Вертикальные напряжения в расчетной точке М определяют по формуле

 

.

 

Рис. 4.6. Схема к определению напряжений в массиве грунта при действии единичной вертикальной силы

Коэффициент К, зависящий от безразмерного параметра r/z, приводится в справочных данных.

Z – глубина точки;

r – расстояние от точки до линии действия силы;

М – рассматриваемая точка;

N – сосредоточенная вертикальная сила.

 

Определение напряжений в массиве грунта от действия нескольких вертикальных сосредоточенных сил, приложенных к границе грунтового основания (принцип Сен-Венана – принцип независимости действия сил).

 

Рис. 4.7. Схема к определению напряжений в массиве грунта от действия нескольких вертикальных сосредоточенных сил

 

Если к поверхности изотропного линейно-деформируемого полупространства приложено несколько сил (N ₁, N ₂,..., N_n), то при прямой пропорциональности между напряжениями и деформациями можно использовать принцип суперпозиции и найти значение σ_z в любой точке М простым суммированием:

 

, (4.9)

.

 

Коэффициент К, зависящий от безразмерного параметра r/z, определяется так же как и в предыдущем случае.

Определение напряжений σ_z в массиве грунта при действии любой распределенной нагрузки, приложенной к границе грунтового основания (метод элементарного суммирования).

Пусть к поверхности изотропного линейно-деформируемого полупространства в пределах площади загружения приложено распределенное давление. Загруженную площадь можно разбить на небольшие прямоугольники и более сложные фигуры по ее контуру.
С некоторым приближением давление, распределенное в пределах i -гo прямоугольника, можно заменить равнодействующей N_i , приложенной в центре тяжести этого давления. Вертикальное сжимающее напряжение от действия силы N_i составит .

Рис. 4.8. Схема к определению напряжений в массиве грунтапри действии любой распределенной нагрузки

 

Определив величину s_zi от нагрузки каждой из небольших фигур, на которые разбита площадь загружения, и произведя суммирование этих напряжений, определим напряжение s_zi от действия распределенной нагрузки (аналогично формуле 4.9):

 

,

 

.

 

Этот метод также иногда называют методом элементарных квадратов.

Коэффициент К, зависящий от безразмерного параметра r/z, определяется так же как и в предыдущих случаях.

Точность расчета увеличивается с уменьшением размеров отдельных элементов, однако при большом числе элементов значительно увеличивается трудоемкость задачи.