Вектори

 

1.1 Є три вектори , жодні два з яких неколінеарні. Відомо, що вектор колінеарний вектору , а вектор колінеарний вектору . Знайти довжину вектора .

1.2 Нехай – довільні точки простору. Довести, що існує

єдина точка така, що .

1.3 Нехай – вершини правильного -кутника, точка – його центр. Знайти суму векторів .

1.4 Нехай – прямокутник і – довільна точка простору. Довести: а) ;

б) .

1.5 Нехай – бісектриси трикутника .

Довести, що якщо , то трикутник правильний.

1.6 Довести, що для будь-яких векторів справедлива

рівність: .

1.7 Довести, що вектори та колінеарні.

1.8 На площині розміщені два кола радіусів і з центрами і

відповідно. На першому колі взято точку , а на другому –

так, що вектори і колінеарні і протилежно напрямлені.

Яку лінію опише середина відрізка , якщо точка пробіжить

перше коло?

1.9 Нехай і – неколінеарні вектори, – площа паралелогра-

ма, побудованого на них. Довести, що , де .

1.10 Знайти кут між мимобіжними медіанами граней правильного

тетраедра.

1.11 Три різних одиничних компланарних вектори мають спільний початок в точці, що лежить на прямій . Довести, що якщо кінці всіх векторів знаходяться по один бік від , то модуль їх суми більший від одиниці.

1.12 Довести, що сума косинусів двогранних кутів при всіх ребрах довільної трикутної піраміди не перевищує числа 2.

1.13 Точки розбивають коло радіуса на рівних дуг; − довільна точка цього ж кола. Знайти модуль суми векторів .

1.14 Три вектори задовольняють умові

.

Довести: а) Вектори – компланарні;

б) Точки лежать на одній прямій.

1.15 Із однієї точки проведені три некомпланарні вектори . Довести, що площина, яка проходить через кінці цих векторів, перпендикулярна до вектора .

1.16 На всіх сторонах опуклого -кутника зовні побудовано правильні трикутники

. Довести, що .

1.17 Об'єм тетраедра дорівнює . Точки такі, що , , , . Знайти об'єм тетраедра .

1.18 Довжина вектора, який дорівнює сумі даних десяти векторів,

більша ніж довжина суми будь-яких дев’яти з них. Довести, що існує

така вісь, що проекція кожного з даних десяти векторів на цю вісь

додатна.

1.19 Вектори некомпланарні. Довести, що вектори також некомпланарні.

1.20 Точки не лежать в одній площині. З’ясувати, при яких дійсних значеннях параметра існує точка така, що

.

1.21 Задано трикутник . Вектор повернутий навколо точки на кут , а вектор – на кут . Отримані вектори позначені через і . Довести, що медіана трикутника , проведена із вершини , перпендикулярна до прямої .

1.22 Нехай – будь-який чотирикутник, – точка пере- тину відрізків, які з’єднують середини протилежних сторін цього чотирикутника. Довести, що .

1.23 Довести, що для того, щоб діагоналі чотирикутника були взаємно перпендикулярними необхідно і достатньо, щоб суми квадратів протилежних сторін були рівними.

1.24 Довести, що коли сума квадратів сторін чотирикутника дорівнює сумі квадратів його діагоналей, то цей чотирикутник є паралелограмом.

1.25 Для довільних дійсних чисел , порівняти числа

та

і вияснити, коли .

1.26 Для довільних дійсних чисел , порівняти числа

та

і вияснити, коли .

1.27 Нехай – одиничні вектори зовнішніх нормалей до граней опуклого многогранника, площі яких відповідно рівні . Довести, що

.

1.28 Нехай – одиничні вектори зовнішніх нормалей до сторін опуклого многокутника, довжини яких відповідно рівні . Довести, що

.

1.29 Нехай – центр кола, вписаного в многокутник . Довести, що

.

1.30 Нехай довжини сторін трикутника – відповідно рівні . Довести, що центр вписаного в трикутник кола єдина точка, для якої виконана рівність

.

1.31 Нехай – довільна точка всередині трикутника . Позначимо площі трикутників через відповідно. Довести, що

.