Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

 

Литература: [3] гл.1 §1, гл.3,4 [5], № 4,29,67,155,166

Разберите решение задач 1,2,3.

 

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС:

А(-2;-4), В(10;5), С(8;-9). Найти:

1. длину стороны АВ

2. уравнение стороны АВ

3. уравнение высоты СD и ее длину

4. уравнение окружности, для которой высота СD является диаметром.

 

Решение.

1. Расстояние d между точками М₁ (x₁; y₁) и

М₂ (x₂;y₂) определяется по формуле:

(1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

 

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М₁ (x₁; y₁) и М₂ (x₂;y₂), имеет вид: (2)

 

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

 

 

3x-4y-10=0 (AB).

 

3. Высота CD перпендикулярна стороне АВ, поэтому угловые коэффициенты этих прямых обратные по величине и противоположные по знаку, т.е.

 

(3)

 

Для нахождения углового коэффициента прямой АВ, разрешим уравнение этой прямой

относительно у: -4y=-3х+10,

отсюда

Тогда из (3) находим:

 

Уравнение прямой, проходящей через точку

М₁ (x₁; y₁) в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:

 

(4)

Подставив в (4) координаты точки С и , получим уравнение высоты CD: , ,

 

Для нахождении длины отрезка СD определим координаты точки D. Решим систему уравнений прямых АB и СD методом сложения:

 

 

Итак, D (2;-1).

 

Подставив в формулу (1) координаты точек C и D имеем,

 

4. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке Е (a; b) имеет следующий вид: (5)

 

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр E есть середина отрезка

CD. По формулам деления отрезка пополам, получаем:

,

Следовательно, Е(5;—5) и

По формуле (5) получаем уравнение окружности: (x-5)²+(y+5)²=25

 

На рисунке 1 в декартовой прямоугольной системе коор­динат хОу изображены треугольник ABC, высота СD, окруж­ность радиуса 5 единиц с центром в точке Е.

 

 

 

рис. 1

 

 

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что называется прямоугольной системой координат?

2. Напишите формулу для нахождения расстояния меж­ду двумя точками.

3. Напишите формулы для определения координат точки, делящей отрезок:

а) в данном отношении;

б) пополам.

4. Напишите уравнения прямой:

а) с угловым коэффици­ентом;

б) проходящей через данную точку в данном направ­лении;

в) проходящей через две данные точки.

5. Как найти координаты точки пересечения двух пря­мых?

6. Напишите формулу для определения угла между дву­мя прямыми.

7. Сформулируйте условия параллельности и перпендику­лярности двух прямых.

8. Что называется окружностью?

9. Напишите уравнение окружности с центром в произ­вольной точке плоскости хОу; с центром в начале координат.