Модель общего равновесия Вальраса. Вывод условий первого порядка.

Рассмотрим экономику, в которой производится n видов продукции с помощью m факторов производства. Обозначим через p = (p₁,…,p_n)^T – вектор цен выпуска, w = (w₁,…,w_n)^T – вектор цен факторов производства. Будем предполагать, что рынок функционирует в условиях совершенной конкуренции.

Будем предполагать, что на рынке присутствует k фирм, каждая из которых способна выпускать любой из видов продукции, осуществляя затраты факторов производства. Обозначим через q⁽ⁱ⁾=(q₁⁽ⁱ⁾,….,q_n⁽ⁱ⁾)^T вектор выпуска продукции i-й фирмой, через x⁽ⁱ⁾=(x₁⁽ⁱ⁾,….,x_m⁽ⁱ⁾)^T вектор затрат факторов производства i-й фирмы.

Производственную функцию фирм запишем в неявном виде:

(в х коэффициент m)

Как и раньше будем предполагать, что фирмы максимизируют свою прибыль с учетом собственной технологии производства. Тогда задачи фирм будут выглядеть следующим образом:

(вместо с пишем w, и можно сократить q^(i)T и x^(i)T)

Функция Лагранжа имеет следующий вид:

(в лямбда в скобках i-ые элементы и лямбда, вместо с пишем w, и сворачиваем Ф в скобках до векторов)

Условия первого порядка будут иметь следующий вид:

(w имеет транспонировки знак)

Каждая система содержит n + m + 1 уравнение с n + m + 1 неизвестным. Поскольку эти уравнения справедливы для каждой из k фирм, то имеем (n+m+1)k уравнений для решения задачи общего равновесия.

Кроме этого, в экономике имеется l потребителей, каждый из которых владеет определенным фактором производства, который он может продать на рынке ресурсов и получить доход. Кроме того, предполагается, что потребитель получает определенную долю прибыли каждой фирмы. Обозначим через h⁽ⁱ⁾=(h₁⁽ⁱ⁾,….,h_n⁽ⁱ⁾)^T набор товаров, приобретаемый i-м потребителем, через y⁽ⁱ⁾=(y₁⁽ⁱ⁾,….,y_m⁽ⁱ⁾)^T набор факторов производства, находящийся в распоряжении i-го потребителя, через s⁽ⁱ⁾=(s₁⁽ⁱ⁾,….,s_k⁽ⁱ⁾)^T - вектор долей участия i-го потребителя в прибылях фирм.

Тогда функция полезности i-го потребителя имеет вид:

(знаки Т)

Бюджетное ограничение потребителей принимает вид:

где - вектор прибыли фирм.

Задачи потребителей принимают вид:

Функция Лагранжа имеет следующий вид:

где – множитель Лагранжа для -го потребителя.

Условия первого порядка будут иметь следующий вид:

Каждая система содержит n + m + 1 уравнение с n + m + 1 неизвестным. Поскольку эти уравнения справедливы для каждого из l потребителей, то имеем (n+m+1)l уравнений для решения задачи общего равновесия.