Абсолютная сходимость

Теорема сравнения и ее следствие применимы только к неотрицательным функциям. Как исследуется на сходимость несобственный интеграл в случае функции , меняющей знак на полуинтервале Заметим, что если от функции перейти к ее модулю , то условие неотрицательности будет соблюдено.

Предложение. Если интеграл от модуля функции сходится, то и интеграл от самой функции также сходится.

Доказательство. Итак, нам известно, что интеграл сходится. Из неравенств следует (прибавили ко всем частям величину ). Из сходимости вытекает сходимость (свойство линейности). Тогда по теореме сравнения получаем, что и интеграл сходится. Разность двух сходящихся интегралов и дает сходящийся интеграл , что и требовалось доказать. □

Определение. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если интеграл сходится. В случае, когда несобственный интеграл сходится, но не сходится абсолютно, то интеграл называют условно сходящимся.

Пример. Интеграл сходится условно. Обозначим Геометрический аналог этого утверждения заключается в том, что суммарная площадь равна бесконечности, хотя знакочередующийся ряд сходится (см. рис. 2).

3π

2π

π

Рис. 2. Условно сходящийся интеграл.

Действительно, для ε >0 имеем:

Так как и интеграл сходится, то при правая часть в (1) имеет предел. Следовательно, и левая часть имеет предел при Итак, интеграл сходится. Точка 0 есть устранимая особенность функции в силу первого замечательного предела. Доопределяя эту функцию в нуле единицей, получаем непрерывную функцию на отрезке . Тем самым интеграл сходится в силу аддитивности несобственных интегралов.

Докажем, что интеграл расходится. Предположим противное – он сходится. Тогда замена и эквивалентность на бесконечности показывают, что и интеграл будет сходится. Так как

то по теореме сравнения получается, что интеграл также сходится, что противоречит утверждению об эталонных интегралах.