Свойства операции сложения матриц

(A + B) + C = A + (B + C); A + Θ = Θ + A = A, где Θ – нулевая матрица; A - A = Θ; A + B = B+A.

 

Свойства операции умножения матриц

Свойства умножения матриц: (A · B) · C= A · (B · C); (z · A) · B= z · (A · B), где z – число; A · (B + C) = A · B + A · C; E_n · A_nm = A_nm · E_m= A_nm; A · B ≠ B · A; произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

 

Транспонированная матрица

Транспонирование матрицы – это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами: a^T_ij = a_ji. Свойства транспонированной матрицы: (A^T)T = A; (k · A)^T = k · A^T; (A + B)^T = A^T + B^T; (A · B)^T = B^T · A^T.

 

Вычисление определителей 1-го и 2-го порядка

Определитель квадратной матрицы 1-го порядка: det A=det [a₁₁]=a₁₁

Определитель квадратной матрицы 2-го порядка: det A=det [a₁₁ a₁₂] = [a₁₁ a₁₂] = a₁₁*a₂₂-a₁₂*a₂₁

[a₂₁ a₂₂] [a₂₁ a₂₂]

 

Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя

Минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется число A_ij = (-1)^{i + j} · M_ij

 

Определение определителя разложением по 1-ой строке

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения: det(A) = Σa_ij · A_ij.