Решения задач

1. Пусть - искомая последовательность. Так как , то , , , , состоит из всех остатков по . Но и простое может быть только в случае . Таким образом, единственная искомая прогрессия 5,11,17,23,29.

 

2. Пусть - наименьшее, а - наибольшее из чисел (возможно одно из наименьших и одно из наибольших).

Тогда из -го уравнения имеем:

(т.к. все )

Из -го уравнени:

(т.к. все ).

Значит, . Т.е. у системы единственное положительное решение:

.

 

3. Уравнение переписывается в виде

.

 

4. Стороны перпендикулярны биссектрисам .

Биссектриса . Следовательно, уравнение стороны . Биссектриса делит в отношении , т.е. проходит через .

Перпендикуляр к нему: . Из условия прохождения через , т.е. уравнение стороны .

Биссектриса делит в отношении , т.е проходит через . . Перпендикуляр: . Из условия прохождения через . Т.е. уравнение стороны .

,

,

Ответ:

 

5. Пусть . Тогда , , , . Исходное уравнение сводится к , , . Его решение

, .

Ответ: .

 

6. Ответ: . Если , ответ очевиден. Следовательно, достаточно рассмотреть , и доказать, что искомый предел для функции равен нулю. Фиксируем . Выберем так, что для . Имеем

для . Это означает, что соответствующий предел равен нулю.

 

7. Из неотрицательности коэффициентов следует неположительность всех корней полинома . Согласно теореме Виета, сумма всех корней полинома равна коэффициенту перед , взятому с обратным знаком, т.е. -1. Обозначим через корни полинома , умноженные на -1: .

Тогда неравенство, которое мы хотим доказать, можно переписать в виде:

, причем и . Осталось заметить, что функция является выпуклой вниз, по крайней мере, на отрезке , следовательно, доказываемое неравенство эквивалентно неравенству Йенсена для выпуклой функции в точках -1, -2, …, -2014.

 

8. Обозначим через число перестановок, в которых каждый элемент меняет свой номер. Для вычисления воспользуемся формулой «включений-исключений»: из числа всех перестановок вычтем число перестановок, в которых один элемент остаётся на своем месте (для каждого одного элемента), прибавим число перестановок, в которых два элемента остаются на своём месте (для каждых двух элементов), вычтем число перестановок, в которых три элемента остаются на своём месте (для каждых трёх элементов) и т.д. Получим: (здесь - число способов выбрать те элементов, которые будут оставаться на своих местах, - число способов переставить остальные элементы).

Преобразуем: .

Далее воспользуемся признаком сходимости Даламбера для последовательности с общим членом :

.

Таким образом, ряд сходится при и расходится при . Случай исследуем отдельно, для чего воспользуемся формулой Стирлинга: :

, следовательно, ряд расходится.

Ответ: ряд сходится при и расходится при .

 

9. Ответ: нет.

Рассмотрим, как горизонтальная плоскость пересекает параллелепипед и тетраэдры . Очевидно, что площадь сечения постоянна на ( - высота параллелепипеда). Для каждого из тетраэдров площадь ведет себя следующим образом: вне некоторого интервала она равна нулю, а внутри него пропорциональна или , или . В любом случае внутри этого интервала (носителя функции) она строго выпукла вниз. Площадь равна сумме площадей для всех , кроме конечного числа значений ( и ). Выберем внутри не равным никаким или . Для такого и в некоторой его окрестности площадь должна быть, с одной стороны, постоянной, с другой стороны, строго выпуклой вниз функцией. Это противоречие доказывает утверждение.

 

10. , (1)

Т.е. (2)

Если , то из (1) следует, что , а из (2), что .

Пусть не все нули. Тогда какое-то положительно или отрицательно. Если , то , . По индукции получаем , . Что и требовалось доказать.

Если для некоторого , то по (1) и мы приходим к предыдущему случаю.

 

11. (1)

1) Ясно, что есть решение функционального уравнения (1). Тогда .

2) Все функции, удовлетворяющие на также решения, так как они дают нули в обеих частях (1). В этом случае . Покажем, что других решений у уравнения (1) нет.

Пусть такое, что . Взяв , получим в (1) в правой части , а в левой - . Так как для всех , получим для всех . Поэтому . Значит, на всем отрезке .

Пусть не существует такой, что . Тогда (если , то найдется пересечение и , т.к. ). По непрерывности , получаем для некоторого . Если , то . Если , то для любого имеем (т.к. для некоторого ). Правая часть равенства дифференцируема на , поэтому найдем производные левой и правой частей и получим на . Поэтому . Так как и непрерывна, имеем и на , значит, по пункту (2).

 

12. Способ I

. Пусть собственная скорость самолета , ветра - . Выберем систему координат, как показано на рисунке. Введем полярные координаты . Найдем компоненты скорости самолета :

, (1) , (2)

Продифференцируем второе равенство по .

.

Подставим и , найденные из исходной системы (1):

,

Интегрируем уравнение по :

,

.

При имеем , при этом (2) дает . Итак,

.

Пусть - время перелета. Тогда из (2) получаем так как . Интегрируем уравнение от 0 до :

Замена: . , .

Итак, .

Способ II (предложено студентом Иевлевым Е.А., СПбГУ(Физ.))

Перейдем в систему отсчета ветра. В этой истеме точка движется по прямой со скоростью км/ч. Самолет преследует ее со скоростью км/ч. Пусть - угол между направлением вектора и ость Ох (см. рис.). , - расстояние, пройденное точкой за время полета самолета .

Тогда (1) (2)

В системе отсчета самолета (3)

Подставляя (2) в (3), получим .

Подставляя (1) в (4), находим . Значит, часа.

 

Количество участников, решивших задачи (определено по формуле: полная сумма набранных всеми участниками баллов за задачу, деленная на 10 (стоимость задачи)).

№ задачи
Кол-во решивших	59,3	24,7	12,2	51,9	8,1		7,6	7,4	5,6	2,5