Линейный оператор. Ядро и образ линейного оператора

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

 

Направление 080100

«Экономика»

 

Очная форма обучения

 

Рязань 2012

Тема 9. Линейные операторы

Линейный оператор. Ядро и образ линейного оператора

В линейной алгебре часто рассматриваются соответствия, при которых векторам одного линейного пространства ставят в соответствие векторы другого (или того же) линейного пространства.

Определение 5.1. Пусть заданы два линейных пространства . Если каждому вектору поставлен в соответствие единственный вектор

,

то говорят, что в пространстве задано отображение (функция)

.

При этом вектор называют прообразом вектора , а вектор – образом вектора . Линейные пространства называются соответственно пространством прообразов и пространством образов.

Частным случаем отображения линейных пространств является отображение пространства на себя:

.

Определение 5.2. Отображение , переводящее линейное пространство V в себя, называется линейным оператором (или линейным преобразованием), действующим в V, если для любых векторов и любого числа :

1) (аддитивность),

2) (однородность).

При этом запись , или называют операторной записью (или операторным равенством).

Условия 1), 2) определения 5.2 можно скомбинировать в виде одного: для любых векторов и любых чисел :

.

Отметим ряд свойств линейного оператора, непосредственно следующих из определения 5.2.

Теорема 5.1 (об образе нулевого вектора). Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор.

□ Имеем . ■

Приведенное свойство может рассматриваться как необходимое (но не достаточное) условие линейности оператора. Если данное свойство не выполняется для данного отображения, то это отображение не является линейным оператором.

Теорема 5.2 (об образе линейной комбинации). При линейном преобразовании образ линейной комбинации равен линейной комбинации образов, то есть если задана система векторов , то

.

Доказательство следует непосредственно из определения 5.2.

Теорема 5.3. Если система векторов линейно зависима, то система образов также линейно зависима.

□ Если система векторов линейно зависима, то существуют числа , среди которых есть хотя бы одно отличное от нуля, что

, .

Тогда, действуя оператором на обе части этого равенства (используя теоремы 5.1 и 5.2), получим

, ,

откуда следует линейная зависимость системы . ■

Теорема 5.4 ( об однозначном задании линейного оператора ). Линейный оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве, однозначно задается образами базисных векторов этого линейного пространства.

□ Пусть – фиксированный базис в конечномерном линейном пространстве (). Выберем произвольную систему векторов . Покажем, что существует единственный линейный оператор , переводящий вектор в соответствующий вектор : .

Рассмотрим отображение , которое каждому вектору , имеющему в базисе разложение

,

ставит в соответствие вектор по правилу

.

При всех : .

Покажем, что введенное отображение является аддитивным и однородным. Для любых векторов , и любого числа :

Существование линейного оператора доказано. Единственность доказывается методом от противного. ■

Определение 5.3. Ядром линейного оператора называется множество векторов таких, что :

.

Из определения видно, что ядром линейного оператора являются те векторы пространства , которые переводятся оператором в нулевой вектор этого пространства.

Определение 5.4. Образом линейного оператора называется множество всех векторов для каждого :

.

Теорема 5.5. Ядро и образ линейного оператора, действующего в линейном пространстве, являются подпространствами линейного пространства.

□ Для доказательства теоремы достаточно показать, что множества и образ непустые и замкнуты относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число.

Очевидно, что ядро является непустым, так как по теореме 5.1 образом нулевого вектора является нулевой вектор , то есть . Аналогично .

Покажем далее, что множество замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число, то есть покажем, что если , то при всех : . Имеем

,

то есть .

Аналогично показывается, что множество замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. ■

Поскольку по теореме 5.5 ядро и образ являются подпространствами линейного пространства, то можно говорить об их размерностях.

Определение 5.5. Дефектом линейного оператора называют размерность ядра этого оператора. Рангом линейного оператора называют размерность образа линейного оператора. Итак,

, .

Справедлива следующая теорема о дефекте и ранге линейного оператора.

Теорема 5.6 ( о размерностях ядра и образа линейного оператора ). Сумма дефекта и ранга линейного оператора, действующего в конечномерном линейном пространстве, равна размерности этого линейного пространства:

.

Доказательство. Пусть , . Выберем в подпространстве базис и дополним его векторами до базиса всего пространства. Покажем, что векторы

образуют базис подпространства , то есть покажем, что эта система векторов линейно независима и любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов . Если и , то

Равенство

означает, что вектор представлен в виде линейной комбинации векторов .

Покажем теперь, что система векторов линейно независима. Составим равенство

и покажем, что оно выполняется только в случае, когда .

Так как линейный оператор, то по теореме 5.2

.

Из последнего равенства следует, что вектор

.

Покажем, что

.

Отметим, что векторы порождают некоторое подпространство , являющееся линейной оболочкой этих векторов[1]: .

Покажем, что подпространства и пересекаются только по нулевому вектору. Действительно, пусть . Тогда имеют место разложения вектора по векторам базисов этих двух подпространств:

Вычитая из первого равенства второе, получим

.

Так как система векторов является базисом пространства (а значит, она линейно независима), то последнее равенство возможно только в том случае, когда . Это означает, что .

Выше было показано, что . Но . Значит, . Так как система векторов является линейно независимой, то последнее равенство возможно только в том случае, когда

.

Итак, система векторов образует базис подпространства , а значит, , что и доказывает справедливость утверждения теоремы. ■