В партии 29 образцов,из них 14 исправных. Наудачу отобрано 5 образцов

1. Найти вероятность того, что среди отобранных образцов исправных ровно 3.
2. Получить закон распределения СВ Х=(число исправных образцов в выборке).
3. Построить соответствующую гистограмму.
4. Построить функцию распределения вероятности для СВ Х и соответствующий график.
5. Вычислить моду, мат. ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.

 

Решение:

 

1). Вероятность того, что среди отобранных образцов исправных ровно 3, вычисляется используя гипергеометрическое распределение =ГИПЕРГЕОМЕТ(…):

,где N - (размер совокупности), = 29;

K - (число успехов в совокупности), = 14;

n - (размер выборки), = 5;

k - (число успехов в выборке), = 3.

Вычисленная вероятность (того что среди отобранных образцов 3 исправных) равняется: P = 0,321839.

 

2).

Всего имеется 29 образцов, известно что 14 из них исправны, следовательно остальные 15 не исправны. Так как выборка рана 5 образцам, то, если в нее попадут все не исправные образцы, число исправных образцов в выборке равняется 3.Отсюда следует, что необходимо рассчитать вероятность попадания в выборку от 3 до 5 исправных образцов для каждого случая в отдельности. Для этого в Excel,составляем и заполняем таблицу и опять используем гипергеометрическое распределение:

 

 

Распределение числа особых объектов в выборке
x	p
	0,0253
	0,1609
	0,3487
	0,3218
	0,1264
	0,0169

3). По полученным данным строим гистограмму:

4). Функция распределения – это вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x . Её значения находим суммированием вероятностей. В результате

чего получим:

 

Распределение числа особых обьектов в выборке
x	p	F
	0,0253
	0,1609	0,0253
	0,3487	0,1862
	0,3218	0,5349
	0,1264	0,8567
	0,0169	0,9831
	1,0000	1,0000

 

По эти данным строим соответствующий график:

5).

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. Наибольшая вероятность в данном случае равна Р₆ =0,321839, она соответствует вероятности попадания 6 исправных образцов. Следовательно, мода равна Mo(X) =0,3487. В Excel нахождение моды производилось по следующей формуле:

ИНДЕКС(x;ПОИСКПОЗ(НАИБОЛЬШИЙ(p;1);p;0);1)

 

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: . Для вычисления мат. ожидания в Excel, используется функция СУММПРОИЗВ(Х;Р_х). В результате вычислений мат. ожидание равно:

M(x) = 4,7702.

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Для вычисления дисперсии в Excel составляется следующая формула =СУММПРОИЗВ(X;X;Px)-М(х)*М(x). В результате чего, дисперсия равна:

D(x) =6,622991.

Среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:

Для вычисления σ_x в Excel, из значения дисперсии извлекается квадратный корень, следующей функцией: КОРЕНЬ(D(x)). Среднее квадратичное отклонение равно: σ_x =2,573517.

 

Задание 2:

 

5 элементов соединены в цепь по следующей схеме:

 

 

Надежности элементов приведены в таблице:

Элемент
Надежность	0,8	0,5	0,7	0,9	0,6

1). Написать формулу для события Х=(цепь между узлами С и D проводит). 2). Рассчитать вероятность надежной работы цепи между узлами А и D, а также А и С.

 

Решение:

Пусть E_i - надежность элемента, Ē_i (= 1-E_i) – вероятность выхода из строя.

 

Элемент
Надежность(Ei)	0,8	0,5	0,7	0,9	0,6
Вероятность поломки(Ēi)	0,2	0,3	0,1	0,3	0,6

 

1). Составим и разберём схему цепи:

D

D ₂ D

_{1 4 4}

₅ C ≡ A 6 → 6 = ₅ C ≡

A ₃ A ^{2 3}

² B B

 

D D D D

_{4 4}

≡ 7 → 7 = ₅ C ≡ ₅ 8 → 8 = C

A _{3 3}

² B B B B

 

 

z₈ = E₃*E₄

z₇ = Z₅ + Z₈ = E₅+E₃*E 4

z₆ = E₂*z₇ = E₂*(E₅+E₃*E₄)

z = z₁+z₆ = E₁+E₂*(E₅+E₃*E₄) →

→ Формула для события Х где цепь между узлами С и D равна: X=E₁+E₂*(E₅+E₃*E₄).

 

2).

Рассчитать вероятность надежной работы цепи между узлами А и В:

· Участок DAB состоит из последовательно соединенных участков DA и AB, → P(DAB) = P(DA)*P(AB) = E₁E₂.

· Участок DB состоит из параллельно соединенных участков DB и DAB, → P(DB) = P(DB) + P(DAB) – P(DB*DAB).

P(DB*DAB) можно представить в виде P(DB)*P(DAB),(т.к. события независимы), → P(DB) = E₅ + E₁E₂ – E₅E₁E₂.

· Участок DBC состоит из последовательно соединенных участков DB и BC, → P(DBC) = P(DB)*P(BC).

P (BDC) = (E₅ + E₁E₂ – E₅E₁E₂)*E₃.

Нужный участок CD состоит из участков CD и DBC, которые связаны параллельно, → P(CD) = P(DBC)+ P(CD) –P(DBC)*P(CD). → Формула расчета надежности на участке СD равна:

P(DC) = (E₅+E₁E₂-E₅E₁E₂)*E₃+E4₃ – (E₄+E₁E₂-E₅E₁E₂)*E₃*E₄. В результате вычисления получим надежность P(BC) = 0,711.

 

Рассчитать вероятность надежной работы цепи между узлами А и В:

В случае если участок DB работает, то для работы цепи нужно чтобы функционировал, хотя бы 1 из параллельно соединенных элементов участка BAD, и хотя бы 1 из параллельно соединенных элементов участка BCD.

P(AC) = E₅(E₂+E₃ – E₂E₃)(E₁+E₄ – E₁E₄). В случае если участок DB не работает то надежность цепи зависит от того работают ли параллельно соединенные участки ADC и ABC, каждый из которых состоящий из 2 последовательно соединенных элементов: P(AC) = Ē₅(E₁E₂+E₃E₄ – E₁E₂E₃E₄). Общая формула для расчета надежности:

P(AC) = E₅(E₂+E₃ – E₂E₃)(E₁+E₄ – E₁E₄) – Ē₅(E₁E₂+E₃E₄ – E₁E₂E₃E₄)

 

В результате вычислений получим, что P(AC) = 0,74.

 

Задание 3:

 

Вкладчик сделал вклады суммой S под процент r с риском обанкротиться p в 3 банка:

Банк	Альфа	Бета	Гамма
Сумма	S
Процент	г	0,3	0,35	0,3
Риск	р	0,3	0,2	0,2

 

Построить ряд распределения для СВ S =( cyммaна всех счетах) и соответствующую гистограмму. Вычислить характеристики распределения: мат. ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и среднее абсолютное отклонение.

 

Решение:

Вычислим "Сумму вкладов через год",в каждом банке по отдельности. Она рано вложенной сумме денег плюс проценты за год. В Excel формула для расчета суммы через год = S*r+S. В результате получим:

SA1	SБ1	SГ1
67,5	20,25

 

Число исходов = 2ⁿ, где 2 – число исходов (банкрот, не банкрот), n – число банков. Т.к. банка 3, то 2³=8 исходов.

Построим таблицу для всех возможных исходов, посчитаем их вероятность и общую сумму вкладов:

События	Вероятности
A	Б	Г	PА	PБ	PГ	p(общ)	S(общ)
			0,7	0,8	0,6	0,336	117,75
			0,7	0,8	0,4	0,224	87,75
			0,7	0,2	0,4	0,056	67,5
			0,7	0,2	0,6	0,084	97,5
			0,3	0,8	0,4	0,096	20,25
			0,3	0,8	0,6	0,144	50,25
			0,3	0,2	0,6	0,036
			0,3	0,2	0,4	0,024

 

 

p – вероятность разорения, q=1-p – вероятность, что банк не разорится.

P_общ – равно произведению соответствующих значений в столбцах P_А, P_Б, P_Г( т.к. события обанкротился банк или нет – независимые). S_общ. рассчитывается по формуле: = СУММПРОИЗВ(SA₁:SГ₁;A(1):Г(1)).

Для неё нужно построить ряд распределения(СВ S=(cyммa на всех счетах) и соответствующую гистограмму:

 

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:

Для вычисления мат. ожидания в Excel, используется формула =СУММПРОИЗВ(S_общ;p_общ),

где: S_общ. - сумма полученная вкладчиком (Х);

p_общ – вероятность данного события (Р(х)).

В результате вычислений мат. ожидание равно: M(x) = 2,32.

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Для вычисления дисперсии в Excel составляется следующая формула =СУММПРОИЗВ(S_общ;p_общ;S_общ)-М(x)*М(х). В результате дисперсия равна: D(x) = 0,531424.

Среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:

Для вычисления σ_x в Excel из значения дисперсии был извлечен квадратный корень =КОРЕНЬ(D(x)).Среднее квадратичное отклонение равно:

σ_x =0,728988.

Среднее абсолютное отклонение высчитывается по формуле .

В Excel САО высчитывается по формуле: =СУММПРОИЗВ(ABS(S_общ-М(х));p_общ), В результате вычислений САО =0,1845.