Величина

(4.4)

- работа силы на пути .

Таким образом, работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии этой частицы:

. (4.5)

Формула (4.3) для кинетической энергии частицы справедлива как в инерциальной, так и в неинерциальной системе отсчет а. При переходе из одной системы отсчета в другую, движущуюся относительно первой с некоторой скоростью , скорость частицы меняется, следовательно, меняется и кинетическая энергия.

Рассмотрим две системы отсчета:

· инерциальную

· систему отсчета , движущуюся относительно поступательно со скоростью . Скорость может быть как постоянной (тогда система инерциальная), так и зависящей от времени (в этом случае система неинерциальная).

Из рисунка 4.1 видно, что радиус-векторы -той материальной точки в системах отсчета и связаны соотношением: ,

где - радиус-вектор в системе точки (начала отсчета координат в системе ). Продифференцировав это выражение по времени, получаем для скоростей: .

Возведем это равенство в квадрат: .

Подставим значение в формулу кинетической энергии механической системы, получаем кинетическую энергию относительно системы :

,или .

Здесь - масса всей системы,

- импульс механической системы в ,

- кинетическая энергия системы в .

Очевидно, , где - скорость центра масс системы в .

Поэтому, если в качестве взять систему центра масс механической системы, то

и .

Это теорема Кёнига: кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии той же системы в ее движении относительно центра масс и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью центра масс.

Из теоремы Кёнига следует, что кинетическая энергия твердого тела равна сумме его кинетической энергии в поступательном движении со скоростью центра масс тела и кинетической энергии вращения этого тела вокруг центра масс

Выражение (4.4) можно представить в виде:

где - угол между направлениями силы и перемещения.

· если - острый (), работа положительна;

· если - тупой (), работа отрицательна;

· При работа равна нулю.

Выражению (4.4) можно придать наглядный геометрический смысл.

На рис.4.2 представлен график проекции силы на направление перемещения как функции положения частицы на траектории.

И з рисунка видно, что

· элементарная работа численно равна площади заштрихованной полоски,

· работа на пути 1-2 численно равна площади фигуры, ограниченной кривой , вертикальными прямыми 1 и 2 и осью S.

Отметим следующее важное обстоятельство: формула (4.4) справедлива не только для частицы, но и вообще для любого тела (или системы тел). Надо только иметь в виду, что под dr (или ds) следует понимать перемещение точки приложения силы F. Игнорирование этого обстоятельства зачастую приводит к ошибочным результатам.

Из рисунка видно, что элементарная работа численно равна площади заштрихованной полоски, а работа А на пути от точки 1 до точки 2 — площади фигуры, ограниченной кривой, ординатами 1 и 2 и осью s. При этом площадь фигуры

· над осью s берется со знаком плюс (она соответствует положительной работе),

· а площадь фигуры под осью s —со знаком минус (она соответствует отрицательной работе).

 

Пусть на тело действует одновременно несколько сил .

Из дистрибутивности скалярного произведения векторов вытекает, что работа , совершаемая результирующей силой на пути , может быть представлена в виде:

- работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.

Очевидно, элементарное перемещение ,

поэтому выражение для э лементарной работы (4.4) принимает вид:

Тогда работа, совершаемая за промежуток времени от до , будет равна

Единицей работы в СИ является джоуль (Дж). Джоуль — это работа силы в 1 Н на пути 1 м (при условии, что направление силы совпадает по направлению с перемещением), или 1 Дж =1 Н м.

Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью.

Мощность, по определению, — это работа, совершаемая силой за единицу времени.

Если за промежуток времени dt сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени, есть

Учитывая, что , получаем

Таким образом, мощность, развиваемая силой F, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы. Как и работа, мощность — величина алгебраическая.

Зная мощность силы F, можно найти и работу, которую совершает эта сила за промежуток времени t. В самом деле, представив подынтегральное выражение в формуле (4.2) в виде

, получим

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт), равный джоулю в секунду (Дж/с).

Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в каждом конкретном случае четко указывать или представлять себе, работа какой именно силы (или сил) имеется в виду. В противном случае, как правило, неизбежны недоразумения.

Работа и мощность силы зависят от выбора системы отсчета.