Абсолютная и относительная погрешности

Элементы теории погрешностей

 

Под погрешностью понимается некоторая величина, характеризующая точность результата. Существуют три вида погрешностей:

1) неустранимая погрешность, возникающая из-за неточности исходной информации, например неточности измерений;

2) погрешность метода;

3) погрешность вычислений, возникающая из-за округлений.

Основная задача теории погрешностей – указание области неопределенности результата.

 

 

Абсолютная и относительная погрешности

 

Абсолютной погрешностью числа x называется величина D _х, удовлетворяющая условию

 

 

где x – точное значение величины, а – ее приближенное значение. В этом случае говорят, что определено с точностью до D _х, т.е.

 

Отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины

 

 

называется относительной погрешностью . Следовательно,

 

 

Относительная погрешность чаще всего указывается в процентах. Точность результата лучше характеризует его относительная погрешность, которая показывает какую часть самого числа составляет погрешность. Абсолютные и относительные погрешности числа принято округлять только в большую сторону, так как при округлениях границы

неопределенности числа, как правило, увеличиваются. По этой причине вычисления ведут с одним-двумя запасными знаками.

Рассмотрим, как определяются верные значащие цифры чисел. Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре. В противном случае цифра называется сомнительной.

 

Например, пусть и известно, что Тогда число имеет верные знаки 1,2,3, а 9 и 6 – сомнительные, т.к.

 

Если число имеет лишь верные цифры, его округленное значение имеет также лишь верные цифры. Приближенное значение числа, имеющего все верные цифры, может не совпадать с его точным значением.

При вычислениях желательно сохранять такое количество значащих цифр, чтобы их число не превышало числа верных цифр более чем на две единицы.