Функцию Mathсad для умножения матриц не использовать!

1. Ввести матрицу коэффициентов A (n × n) и столбец свободных членов b.

2. На первом шаге .

3. Пусть j = 1.

4. Найти ведущий элемент в столбце с номером j матрицы . Составить матрицу перестановок .

5. В соответствии с матрицей выполнить перестановку в матрице , получим матрицу .

6. Сделать перестановку в матрицах , , для этого .

7. Составить матрицу .

8. Найти матрицу . Увеличить j на 1: . Если перейти к шагу 9, иначе к шагу 4.

9. Ввести обозначение .

10. Найти матрицу (см. лабораторная работа №1).

11. Найти матрицу (воспользуйтесь свойством матрицы перестановки для нахождения P).

12. Найти решение системы .

13. Найти решение системы , записать решение исходной системы линейных уравнений.

14. Выполнить проверку.

1) Для проверки разложения:

Вычислить произведение матриц LU, сравнить с матрицей PA.

2) Для проверки решения:

Посмотреть выполняется ли равенство ?

 

Пример:

Найти решение системы линейных уравнений , где

Получим LU-разложение матрицы коэффициентов.

Выберем максимальный элемент среди элементов столбца с номером j, стоящих не выше диагонали. Номер этого элемента k = 2: Создадим матрицу перестановок : Найдем : Создадим матрицу :

Найдем матрицу :

Аналогично найдем матрицы L2 и A2: Выполним перестановку в матрице L1 ():

Создадим матрицу :

Положим U=A 2: Найдем P = P 2 P 1: Получили требуемое разложение LU = PА:

Чтобы применить полученное разложение к решению заданной системы уравнений, умножим обе части равенства Ах = b слева на матрицу P. Получим PAx = Pb. Используя разложение, имеем LUx = Pb. Пусть . Находим решение треугольной системы уравнений :

Находим решение системы :

Решение найдено верно:

Требования к отчету:

1. Отчет должен быть представлен в электронном виде;

2. Отчет должен содержать:

· Расчеты и проверку.

· Ответы на вопросы:

· Какова точность найденного решения;

· Преимущество метода LUР-разложения по сравнению с методом LU-разложения;

· Недостатки метода.

 

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант:

2 вариант:

3 вариант:

4 вариант:

5 вариант:

6 вариант:

7 вариант:

8 вариант:

9 вариант:

10 вариант:

11 вариант:

12 вариант:

13 вариант:

14 вариант:

15 вариант: