КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Таким образом, расчет статически неопределимой системы методом перемещений выполняется с использованием основной системы этого метода, которая должна работать также как исходная система. Для достижения этого на основную систему метода перемещений накладываются соответствующие условия, в качестве которых принимается равенство нулю реакций в дополнительных связях от совместного действия всех неизвестных перемещений и внешних нагрузок, так как в заданной системе этих дополнительных связей нет и, следовательно, реакций в них тем более быть не может. Таким образом, ставится задача подобрать такие значения неизвестных перемещений, при которых от заданных нагрузок реактивные усилия в дополнительных связях должны быть равны нулю, так как этих дополнительных связей в исходной (рассчитываемой) системе нет.

Указанные условия записывают в виде, так называемых, канонических уравнений метода перемещений:

r₁₁ Z₁ + r₁₂ Z₂ + r₁₃ Z₃ +...+ r_1k Z_k +...+ r_1n Z_n + R_1p = 0;

r₂₁ Z₁ + r₂₂ Z₂ + r₂₃ Z₃ +...+ r_2k Z_k +...+ r_2n Z_n + R_2p = 0;

................................................. (3)

r_{i 1} Z₁ + r_{i 2} Z₂ + r_{i 3} Z ₃ +...+ r_{i k} Z _k +...+ r_in Z _n + R_iP = 0;

.................................................

r_n1 Z₁ + r_n2 Z₂ + r_n3 Z₃ +...+ r_nk Z_k +...+ r_nn Z_n + R_np = 0;

Здесь: Z_k (k = 1... n) - неизвестные (угловые и линейные) смещения узлов; r_ik - реактивное усилие (момент, сила) в i -той дополнительной связи (заделке, линейной связи) от перемещения (углового, линейного) k -той дополнительной связи (заделки, линейной связи) на единичную величину (Z_k = 1);

R_ip - реактивное усилие (момент, сила) в i -той дополнительной связи (заделке, линейной связи) от действия внешней нагрузки.

Физический смысл уравнений (для i-того уравнения): реактивное усилие (момент, сила) в i -той дополнительной связи (заделке, линейной связи) от перемещений всех дополнительных связей (угловых и линейных) Z ₁, Z ₂ ,..., Z_n и внешней нагрузки равняется нулю, так как этой i -той связи в исходной рассчитываемой системе нет, она фиктивна.

Приведем примеры физического смысла коэффициентов канонических уравнений и уравнений в целом, например, для основной системы метода перемещений, представленной на рис. 3:

r ₁₁ - реактивный момент в 1-ой дополнительной заделке от ее же поворота на единичный угол;

r ₅₃ - реактивная сила в 5-ой фиктивной линейной связи от поворота 3-ей фиктивной заделки на угол равный единице;

r ₂₆ - реактивный момент во 2-ой дополнительной заделке от единичного линейного смещения 6-ой дополнительной линейной связи;

R _{4 p} - реактивная сила в 4-ой фиктивной линейной связи от действия внешней нагрузки;

3-е уравнение вида: r ₃₁ Z ₁ + r ₃₂ Z ₂ + r ₃₃ Z ₃ +...+ r _{3 k} Z_k +...+ r _3n Z_n + R _{3 p} = 0; - реактивный момент в 3-ой дополнительной (фиктивной) заделке от перемещений всех дополнительных связей на величины Z ₁, Z ₂ ,..., Z ₆ и от действия внешней нагрузки равняется нулю, так как в заданной системе (рис. 3а) этой 3-ей заделки нет.

Отметим, что коэффициенты при неизвестных r_ik, имеющие одинаковые индексы, (r ₁₁, r ₂₂,...) называют главными, а остальные - побочными; что главные коэффициенты не могут быть отрицательными; что побочные
коэффициенты должны удовлетворять теореме о взаимности единичных
реакций - r_ik = r_ki .