Пример 6. Пример 7. Пусть в приближенном значении а = 16,395 все циф­ры верны в широком смысле

Пример 7. Пусть в приближенном значении а = 16,395 все циф­ры верны в широком смысле. Округлим а до сотых: а₁ = 16,40. Погрешность округления Δ_окр = 0,005. Для нахождения полной по­грешности Δа₁ нужно сложить Δ_окр с погрешностью исходного значения а₁, которая в данном случае может быть найдена из усло­вия, что все цифры и записи а верны: Δа = 0,001. Таким образом, Δа₁ = 0,001 + 0,005 = 0,006. Отсюда следует, что в значе­нии а₁δ = 16,40 цифра 0 не верна в строгом смысле.

Пример 8. Пусть х = 984,6; δх = 0,008. Очевидно, что 0,008 ≤1·10^-2. Это означает, что число х имеет по крайней мере одну верную в строгом смысле цифру (это первая слева цифра 9). Полученный результат легко подтвердить, используя определе­ние цифры, верной в строгом смысле. Вычислим: х = 984,6·0,008 = 7,8768, откуда следует, что в числе 984,6 цифра 9 действительно верна в строгом смысле.

Пример 9. Пусть х = 136,4; δх = 0,008 ≤1·10^-2 (т.е. п = 2). Согласно правилу в числе 136,4 лишь одна верная в строгом смыс­ле цифра (n - 1 = 1). Вычислим Δх = 136,4 · 0,008 < 1,1. Как показы­вает найденная величина предельной абсолютной погрешности, в числе 136,4 верны в строгом смысле две цифры: 1 и 3.

Пример 10. Пусть х = 78,56; δх = 0,0003. Имеем 0,0003 < 0,0005 = • 10^-3 т.е. в числе х верны в строгом смысле три циф­ры. Действительно, в данном случае Δх = 78,56 • 0,0003 < 0,03, что подтверждает полученный результат.

Пример 11. Даны приближенные значения х = 235,4 и у = 79,1834, у которых все цифры являются верными в широком смысле. Найдем на МК их сумму: S= 235,4 + 79,1834 = 314,5834. Для оценки точности результата вычислим сумму погрешностей сла­гаемых: 1·10^-1+1·10⁴ =0,1001 < 0,2 = Δs. Величина ошибки пока­зывает, что в результате уже первый знак после запятой является сомнительным. Стоило ли терять время на учет в вычислениях всех знаков после запятой у второго слагаемого?

Пример 12. Числа 43,1 и 5,72 заданы верными цифрами. Найдем на МК их частное q=7,534965. Для определения числа верных знаков результата вычислим

Частное q имеет один верный знак (7). Округляя полученный результат с одной запасной цифрой, получим q = 7,5.

Пример 13. С помощью МК получаем sin 0,8 = 0,717356091. Если 0,8 — точное значение, то в соответствии с точностью вычисли­тельного прибора полученный результат имеет точность ±1 • 10^-9. Если же 0,8 — приближенное значение, у которого цифра 8 вер­на, например, в строгом смысле, то предельная абсолютная по­грешность значения аргумента Δх = 0,05, а погрешность получен­ного значения синуса в соответствии с формулой оценки пре­дельной абсолютной погрешности будет Δ(sinx) = cosх·Δх ≤ 0,7 ·0,05 = 0,035. Отсюда следует, что во втором случае по­лученное на МК значение sin 0,8 = 0,717356091 имеет лишь одну верную значащую цифру. Округляя результат с одной запасной цифрой, получим 0,72.

Пример 14. Пусть х= 1,5, причем Δх = 0,05, т.е. все цифры в числе х верны в строгом смысле. Нужно вычислить значение tgx. С помощью МК получаем: tg 1,5 = 14,10141994. Для определения верных цифр в результате оценим его абсолютную погрешность:

отсюда следует, что в полученном значении tg 1,5 ни одну цифру нельзя считать верной.

Пример 15. Значение аргумента х=0,63 имеет относительную ошибку около 0,1%. Оценить величину относительной ошибки sin 0,63.

Используя соответствующую формулу, с помощью МК получим: δ (sin0,63) = |0,63·ctg0,63| ·0,001 ≈0,000864 ≈ 0,08%.

Используя величину найденной относительной погрешности, можно оценить количество верных в строгом смысле значащих цифр в искомом значении sin 0,63. Поскольку имеет место 0,00864 < 1 • 10 ^-3, то можно сделать вывод, что в значении sin 0,63 = 0,589145 по крайней мере две цифры после запятой верны в строгом смысле.

Пример 16.

Пример 17.