Несмещенные, эффективные и состоятельные статистические оценки

Тема Статистические оценки параметров распределения

Несмещенные, эффективные и состоятельные статистические оценки

Одной из центральных задач математической статистики являет задача оценки теоретического распределения случайной величины на основе выборочных данных. При этом предполагается, что закон распределения генеральной совокупности известен, но неизвестны его параметры, такие, например, как математическое ожидание и дисперсия. Требуется найти приближенные значения этих параметров, т. е. полу­чить их статистические оценки.

Обозначим через оценку некоторого теоретического параметра закона распределения случайной величины X. Рассматривая выбороч­ные значения как реализации случайных величин , получивших конкретные значения в результате опытов, можно пред­ставить оценку как функцию этих случайных величин

.

Это значит, что оценка тоже является случайной величиной. Если для оценки некоторого параметра взять несколько (например k) выбо­рок, то в общем случае получим столько же разных случайных оценок . Математическое ожидание случайной величины , име­ющей отмеченные реализации, может совпасть, или не совпасть с оцениваемым параметром .

Несмещенной называется статистическая оценка 0*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру М () = .

Смещенной называется оценка , математическое ожидание кото­рой не равно оцениваемому параметру.

Так же как и для любой случай­ной величины, оценка может иметь большой или небольшой раз­брос (дисперсию) относительно математического ожидания.

Эффективно й называется статистическая оценка, которая при одних и тех же объемах выборки имеет наименьшую дисперсию.

В некоторых случаях становится интересным поведение оценки при неограниченном увеличении объема выборки.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при увеличении объема выборки n стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т. е.

М () = и