Условие расположения двух прямых

,

в одной плоскости:

 

 

a - a ₁ b - b₁ c - c₁

m n p =0

m₁ n₁ p₁

 

 

---------------------------------------------------------------------------------------------------

 

3.1. Матрицы и определители, системы линейных уравнений.

72. Проверить совместность системы уравнений

X₁ + 5X₂ = 1

X₁ + 5X₂ = 7

73. Методом Гауса решить систему уравнений

X₁ + 2X₂ + 5X₃ = -9

X₁ - X₂ + 3X₃ = 2

3X₁ - 6X₂ - X₃ = 25

74. Перемножить матрицы. Проверить некоммутативность (AB ¹ BA)

4 9 1 -3

-1 3 - 2 1

75. Проверить ассоциативность произведения трех матриц (AB)C = A(BC), добавив к двум матрицам предыдущего примера любую третью.

76. Найти к первой матрице предыдущего примера обратную.

77. Составить любую неединичную матрицу

а) первого; b) второго; c) третьего; d) четвертого

порядка и вычислить ее определитель.

78. Решить систему уравнений примера 73 (метод Гауса)

а) методом обратной матрицы; b) правилом Крамера.

 

3.2.Векторная алгебра.

 

79. По сторонам ОА (3 см) и ОВ (4 см) прямоугольника ОАСВ отложены единичные (1см) векторы i и j. Выразить через i и j векторы ОА, АС, СВ, ВО, ОС и ВА.

80. Построить точку М {5;-3;4} и определить длину и направление ее радиус-вектора.

81. Определить угол между векторами a = -i + j и b = i – 2 j + 2 k.

82. Определить вектор c = a´ b, если 1) a = 3 i, b = 2 k; 2) a = i + j, b = i – j.

83. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах a = 3 i + 4 j, b = - 3 j + k, c = 2 j + 5 k.

3.3. Прямая и плоскость.

84. Даны точки М₁(0,-1,3) и М₂(1,3,5). Написать уравнение плоскости,

проходящей через точку М₁ и перпендикулярной к вектору N = М₁М_{2 .}.

85. Найти угол плоскости, проходящей через точки O(0,0,0), M₁(a,-a,0),

M₁(a,a,a), с плоскостью xOy.

86. Найти след прямой на плоскости xOz, положив в уравнениии прямой y = 0.

87. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

88. Определить угол между прямыми: y = 2x-3 и y = x+ 1.

----------------------------------------------------------------------------------------------------