Теорема Гаусса для магнитных полей

Подобно тому, как было введено понятие потока вектора напряженности электрического поля, введем понятие потока вектора магнитной индукции, или магнитного потока. Элементарный магнитный поток через малую элементарную площадку , которую можно считать плоской, и в окрестности которой магнитное поле можно считать однородным, равен произведению вектора индукции на площадь выделенного элемента поверхности и косинус угла между вектором индукции и нормалью к поверхности:

. Поток может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от направления нормали к поверхности. За единицу магнитного потока в системе единиц СИ принят вебер (Вб). 1 Вб – это магнитный поток через поверхность площадью , расположенную в однородном магнитном поле перпендикулярно вектору индукции , равному по модулю :

. В случае неоднородного магнитного поля поток через какую-либо поверхность равен алгебраической сумме потоков через участки поверхности, вблизи которых поле можно считать однородным.Магнитный поток, как и поток вектора напряженности электрического поля, можно считать равным числу магнитных силовых линий, пересекающих рассматриваемую поверхность. Магнитное поле является вихревым, то есть его линии магнитной индукции замкнуты. Поэтому замкнутая поверхность, помещенная в магнитное поле, пронизывается линиями магнитной индукции так, что любая линия, входящая в эту поверхность, выходит из нее. Следовательно, полный магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это утверждение носит название теоремы Гаусса для магнитных полей. Равенство нулю магнитного потока через замкнутую поверхность является следствием того, что в природе нет магнитных зарядов, и магнитные поля образуются только электрическими зарядами. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции Рассмотрим постоянные токи в вакууме. - теорема о циркуляции вектора :

циркуляция вектора по произвольному контуру равна произведению на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром.

; ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта (рис. 44).Теорема о циркуляции доказывается посредством закона Био-Савара-Лапласа и подтверждается экспериментально.

Для распределенного по объему тока

поле не потенциально (в отличие от электростатического поля); магнитное поле - вихревое (соленоидальное или трубчатое) поле, свободное от источников (следует из равенства нулю дивергенции).

Соответствующие трубки называются трубками тока; где трубка сжимается, там значение вектора увеличивается (аналогично изменению скорости течения при изменении проходного сечения; поток во всех сечениях одинаков).

В пределе при - ротор поля (вихрь вектора).

Здесь проекция ротора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция.

, ротор получается в результате векторного перемножения оператора Гамильтона и вектора магнитной индукции (). - теорема Стокса.

Направление ротора определяется по направлению нормали , где .

. - дифференциальная форма теоремы о циркуляции .

Для электростатического поля поле потенциально вектор напряженности можно представить в виде градиента скалярной функции (потенциала ). поле соленоидально вектор магнитной индукции можно представить (как и всякий соленоидальный вектор) как вихрь некоторого другого вектора () , где - векторный потенциал.

5. Вектор намагничивания — магнитный момент элементарного объёма, используемый для описания магнитного состояния вещества. По отношению к направлению вектора магнитного поля различают продольную намагниченность и поперечную намагниченность. Поперечная намагниченность достигает значительных величин в анизотропных магнетиках, и близка к нулю в изотропных магнетиках. Поэтому, в последних возможно выразить вектор намагничивания через напряжённость магнитного поля и коэффициент названный магнитной восприимчивостью: