Полукруг

Моменты инерции стандартных профилей находятся из таблиц сортамента:

ДвутаврШвеллерУголок

 

Моменты инерции относительно параллельных осей:

J_x1=J_x + a²F;

J_y1=J_y + b²F;

 

момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. J_y1x1=J_yx + abF; ("a" и "b" подставляют в формулу с учетом их знака).

Зависимость между моментами инерции при повороте осей:

J_x1=J_xcos²a + J_ysin²a — J_xysin2a; J_y1=J_ycos²a + J_xsin²a + J_xysin2a;

J_x1y1= (J_x — J_y)sin2a + J_xycos2a;

Угол a>0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час.стр. J_y1 + J_x1= J_y + J_x

Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции. Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции — оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей: , если a₀>0 Þ оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции. Моменты инерции относительно этих осей:

J_max + J_min= J_x + J_y. Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям:

J_x1=J_maxcos²a + J_minsin²a; J_y1=J_maxcos²a + J_minsin²a; J_x1y1= (J_max — J_min)sin2a;

Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Радиус инерции — ; J_x=F×i_x², J_y=F×i_y².

Если J_x и J_y главные моменты инерции, то i_x и i_y — главные радиусы инерции. Эллипс, построенный на главных радиусах инерции как на полуосях, называется эллипсом инерции. При помощи эллипса инерции можно графически найти радиус инерции i_x1 для любой оси х₁. Для этого надо провести касательную к эллипсу, параллельную оси х₁, и измерить расстояние от этой оси до касательной. Зная радиус инерции, можно найти момент инерции сечения относительно оси х₁: . Для сечений, имеющих более двух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой, J_xy=0, эллипс инерции обращается в круг инерции.

 

Моменты сопротивления.

Осевой момент сопротивления — отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. [см³, м³]

Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:

прямоугольник: ; круг: W_x=W_y= ,

трубчатое сечение (кольцо): W_x=W_y= , где a= d_Н/d_B.

Полярный момент сопротивления — отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения: .

Для круга W_р= .