Понятие о нечетких множествах

В 1965 г. появилась статья Л. Заде «Fuzzy Sets», которая положила начало теории нечетких множеств (НМ).Основная идея Заде: человеческий способ рассуждений, опирающийся на естественные языки, не может быть описан в рамках традиционных формализмов. Программа Заде состояла в построении новой математической дисциплины, в основе которой лежала бы не классическая теория множеств (чётких множеств), а теория НМ. Тогда можно построить нечеткие аналоги всех основных математических понятий и создать необходимый формальный аппарат для моделирования человеческих рассуждений и человеческого способа решения задач.

Выделяют два основных подхода к формализации нечеткости.

1. Подход. НМ образуется путем введения обобщенного понятия принадлежности, т.е. расширения множества (0, 1) значений характеристической функции до континуума [0, 1]. Это означает, что переход от полной принадлежности объекта классу (множеству) к полной его непринадлежности происходит не скачком, а плавно, постепенно, причём принадлежность элемента множеству выражается числом из интервала [0, 1]. Таким образом, НМ можно записать в виде

, где – функция принадлежности.

Существует множество операций над НМ, часть которых аналогичны операциям над четкими множествами. Как правило, они описываются через функции принадлежности. Например,

отношение вложения;

дополнение,

произведение,

сумма.

В НМ сохраняются известные свойства операций (рефлексивность, транзитивность и т.д.) и законы (идемпотентности, коммутативности, двойного отрицания, закон де Моргана). Однако для НМ не выполняется закон комплементарности (закон исключения третьего), т.е. справедливы соотношения

.

Рассматривают следующие виды НМ:

Нормальные НМ, если .

Субнормальные НМ, если .

НМ уровня a (НМА): , т.е. НМА – четкое подмножество универсального множества Х (). Множество строгого уровня: . Носителем НМА является множество Х, для элементов которого .

Чёткое множество А *, ближайшее к НМ, определяется как

Нечеткая функция – отображение , которое каждому ставит в соответствие со степенью . При этом может быть или нечеткое Х или нечеткое Y. Нечеткая функция определяет нечёткую поверхность принадлежности в X*Y (X, Y – произвольные множества).

2. Подход. Всякое НМ можно разложить по множествам уровня (теорема декомпозиции):

, где

То есть нечеткость выражается с помощью набора иерархически упорядоченных чётких множеств. Следовательно, для конечного числа n градаций рассматриваемого свойства n –нечёткое множество задается через n –ку обычных множеств , где и .

Для бесконечного числа градаций имеем бесконечное семейство множеств , т.е. отображение вида , где любому числу (индексу) ставится в соответствие чёткое подмножество множества Х.

Тогда размытость моделируется отображением М из класса функций

со свойствами:

а) М (0)= Х; б) ;

и соответствующими операциями над ними.

Связь между первым и вторым представлениями НМ устанавливается теоремой представления, согласно которой классы F (X) (класс функций первого представления) и изоморфны относительно операций и .