Операции над нечеткими отношениями

Объединение двух отношений R₁ и R₂.
Объединение двух отношений обозначается R₁ÈR₂ и определяется выражением:

m_R1ÈR2 (x,y) = m_R1 (x,y) Ú m_R2 (x,y)

Примеры:

1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: x R₁ y - "числа x и y очень близкие", xR₂y - "числа x и y очень различны" и их объединение x R₁ÈR₂ y - "числа x и y очень близкие или очень различные".
Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|.

mR1ÈR2(x,y) =

ì í î

mR1(x,y), | y - x | £a mR2(x,y), | y - x | >a

где a - такое |y-x|, что m_R1 (x,y) = m_R2 (x,y)

2.

R1   y1 y2 y3 x1 0,1   0,8 x2   0,7

R2   y1 y2 y3 x1 0,7 0,9   x2 0,3 0,4 0,5

R1ÈR2   y1 y2 y3 x1 0,7 0,9   x2   0,7 0,5

Пересечение двух отношений.

Пересечение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ÇR₂ и определяется выражением:

m_R1ÇR2 (x,y) = m_R1 (x,y) Ù m_R2 (x,y)

.

Примеры:

1. Ниже изображены отношения: x R₁ y, означающее "модуль разности |y-x| близок к a", x R₂ y, означающее "модуль разности |y-x| близок к b", и их пересечение.

Алгебраическое произведение двух отношений.

Алгебраическое произведение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁×R₂ и определяется выражением:

m_R1×R2 (x,y) = m_R1 (x,y)× m_R2 (x,y)

Алгебраическая сумма двух отношений.

Алгебраическая сумма двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ R₂ и определяется выражением: .
Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R₁Ç(R₂ÈR₃) = (R₁ÇR₂)È(R₁ÇR₃),
R₁È(R₂ÇR₃) = (R₁ÈR₂)Ç(R₁ÈR₃),
R₁×(R₂ÈR₃) = (R₁×R₂)È(R₁×R₃),
R₁×(R₂ÇR₃) = (R₁×R₂)Ç(R_1×R₃),
R₁ (R₂ÈR₃) = (R₁ R₂)È(R₁ R₃),
R₁ (R₂ÇR₃) = (R₁ R₂)Ç (R₁ R₃).

Дополнение отношения.

Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности:

(x,y) = 1 - m_R (x,y)

.

Дизъюнктивная сумма двух отношений.

Дизъюнктивная сумма двух отношений R₁ и R₂ обозначается RÅR и определяется выражением:
R₁ÅR₂ = (R₁Ç ₂)È( ₁ÇR₂).

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.

Пусть R - нечеткое отношение с функцией принадлежности m_R (x,y). Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:

По договоренности принимают m _R (x,y)=0 при m_R (x,y) = 0,5.

Проекции нечеткого отношения.

Пусть R - нечеткое отношение R: (x,y)®[0,1]. Первой проекцией отношения R (проекция на X) называется нечеткое множество , заданное на множестве X, с функцией принадлежности:

.

Аналогично, второй проекцией (проекцией на Y) называется нечеткое множество , заданное на множестве Y, с функцией принадлежности:

.

Величина h(R) = называется глобальной проекцией отношения R. Если h(R)=1, то отношение R нормально, в противном случае - субнормально.

Пример:

R =	y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 0,1 0,2   0,3 0,9 x 2 0,9 0,1 0,5 0,8 0,5 x 3 0,4   0,6   0,3		1-я проекция   0,9	= R1'
R2' =	0,9 0,2     0,9			= h(R)
2-я проекция

Цилиндрические продолжения проекций нечеткого отношения

Проекции R_1¢ и R _2¢ нечеткого отношения XRY в свою очередь определяют в X´Y нечеткие отношения и с функциями принадлежности:

(x,y)= (x) при любом y, (x,y)= (y) при любом x,

называемые, соответственно, цилиндрическим продолжением R₁' и цилиндрическим продолжением R₂'.

Замечание. Очевидно, что для любых нечетких подмножеств А и В, определенных, соответственно, на X и Y, можно построить их цилиндрические продолжения А и В.
Пример (продолжение):

Имеем:

R1' =

x 1   x 2 0,9 x 3

=

y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1           x 2 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 x 3

и

R2' =

y 1 y 2 y 3 y 4 y 5   0,9 0,2     0,9

=

x 1 0,9 0,2     0,9 x 2 0,9 0,2     0,9 x 3 0,9 0,2     0,9

Сепарабельность отношений

Нечеткое отношение XRY называется сепарабeльным, если оно равно пересечению цилиндрических продолжений своих проекций, т.е. если R = Ç; , т.е. m_R (x,y) = (x) Ç; (y).
Замечание. Если определено декартово произведение нечетких множеств (выше оно введено), то, очевидно, нечеткое отношение XRY сепарабельно, если оно является декартовым произведением своих проекций, т.е. R = R₁'´R₂'.

Пример (продолжение):

Ç =

y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 0,9 0,2     0,9 x 2 0,9 0,2 0,9 0,9 0,9 x 3 0,9 0,2     0,9

¹ R,

т.е. исходное отношение R несепарабельно.