Сигма-алгебра событий.

В теории вероятностей часто возникает необходимость объединять счётные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счётной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумно наложить более суровые ограничения на класс событий.

Определение 11. Множество , элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется -алгеброй ( -алгеброй событий), если выполнены следующие условия:

(S1) ( -алгебра событий содержит достоверное событие);

(S2) если , то (вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие);

(S3) если , , то (вместе с любым счётным набором событий -алгебра содержит их объединение).

Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества относительно счётного числа любых других операций над событиями. В частности, аналогично свойству 1проверяется следующее свойство.

Свойство 2. Свойство (S3) в определении 11 можно заменить на

(S4) если , , то .

Как показывает следующее свойство, всякая -алгебра автоматически является алгеброй.

Свойство 3. Если — -алгебра, то она удовлетворяет свойству (A3), т.е. для любых и выполняется .

Доказательство. Превратим пару в счётную последовательность событий так: , т.е. положим , при всех . Объединение совпадает с объединением всех множеств из этой бесконечной последовательности. А так как — -алгебра, то

 

1.4 Статистическое определение вероятности

Классическое определение не требует проведения опыта. В то время как реальные прикладные задачи имеют бесконечное число исходов, и классическое определение в этом случае не может дать ответа. Поэтому в таких задачах будем использовать статическое определение вероятностей, которое подсчитывают после проведения эксперимента или опыта.

Статической вероятностью w(A) или относительной частотой называют отношение числа благоприятных данному событию исходов к общему числу фактически проведенных испытаний.

w (A)= nm

Относительная частота события обладает свойством устойчивости:

lim n →∞ P (∣ ∣ nm − p ∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

 

1.5 Дискретная вероятностная модель. Определение вероятности в рамках дискретной вероятностной модели.