Показатели вариации и распределения. Теоретическая часть

 

Для измерения вариации применяют различные показате­ли, из которых основными являются размах вариации (лимит), сред­нее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации определяется как разница между наи­большим и наименьшим значениями признака:

,

где R -размах вариации;

x _min, x_max- минимальное и максимальное значение призна­ка.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных отклонений отдельных вариант от средней арифме­тической:

простое ;

взвешенное ,

где L - среднее линейное отклонение;

- средняя арифметическая;

х -варианты;

n - число вариант;

f - частоты.

Диспер­сию рассчитывают как среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от средней арифметической:

простая ;

взвешенная ,

где - дисперсия.

Сред­нее квадратическое отклонение равно корню квад­ратному из дисперсии:

простое ;

взвешенное ,

где - среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметиче­ской величине:

,

где -коэффициент вариации.

Общий объем вариации для совокупности определяют как сумму квадратов отклонений индивидуальных значений признака от общей средней:

,

где w_о - общая вариация;

- общая средняя арифметическая;

x_ij -варианты;

k -число групп;

n_i - численность групп;

N - численность совокупности.

Групповая вариация равна сумме квадратов отклонений групповых средних от общей средней:

,

где w_гр - групповая вариация;

- групповые средние арифметические.

При равной численности групп формула принимает вид:

.

Остаточную вариацию определяют как сумму квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней по группам:

,

где w_ост - остаточная вариация.

При равной численности групп формула имеет вид:

.

 

Групповая и остаточная вариации в сумме равны общей вариации:

.

Данное равенство называется правилом разложения (сло­жения) вариации. Отсюда, зная две величины, можно опре­делить третью.

Коэффициент асимметрии для выборки рассчитывается по формуле:

где A_s – коэффициент асимметрии;

– момент третьего порядка;

– выборочное среднее квадратическое отклонение;

n – число вариант.

Показатель эксцесса для выборки рассчитывается по формуле:

или ,

где – эксцесс;

– момент четвертого порядка.