ЗАДАЧА I

Построение эпюр и

 

Под действием внешних силовых факторов и опорных реакций балка будет находиться в равновесии.

Пренебрегая силами тяжести масс самой балки, из условий равновесия найдём опорные реакции и , вызванные заданными нагрузками и определим их действительное направление.

1. Составим уравнения статики[6] равновесия внешних изгибающих моментов относительно опоры и затем относительно опоры :

Отсюда: .

  .

Подставив в эти выражения числовые значения заданных величин, найдём реакции: и .

В нашем примере обе реакции положительны, значит их направления выбраны, верно [7]..

2. Производим проверку вычисленных значений и :

.

  ;  – тождество.

Отметим, что заданный внешний момент входит только в уравнение моментов.

Мы не ошиблись в расчётах: силы реакций вычислены, верно.

Такую проверку необходимо производить, так как ошибка в определении опорных реакций неминуемо приведёт к ошибкам в построении эпюр.

3. Чтобы построить эпюры и , пользуясь известным в сопротивлении материалов методом сечений, рассчитаем их числовые значения во всех последовательно проведённых поперечных сечениях балки по всей её длине. Для чего рассмотрим произвольные сечения I–I, II–II, III–III и IV–IV (рис.1) с переменными аргументами в пределах каждого грузового участка , , , соответственно.

При вычислении внутренних поперечных сил и внутренних изгибающих моментов важно правильно определить их знаки. При этом часто возникают ошибки, так как механически переносят правила знаков, принятые в статике твёрдого тела для внешних силовых факторов.

Внутренняя перерезывающая сила в поперечном сечении балки, которая равна сумме проекций на ось y всех внешних сил, действующих на мысленно отсечённую часть, т.е.

(1)

принимается положительной, если равнодействующая этих внешних сил слева от рассматриваемого сечения направлена вверх, а справа от рассматриваемого сечения вниз и отрицательной – в противоположном случае.

Внутренний изгибающий момент в сечении, который равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсечённую часть балки, т.е.

(2)

считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз и отрицательным, если он изгибает балку в сечении выпуклостью вверх.

Составим аналитическое выражение (1) в общем виде (с учётом принятого правила знаков) внутренних поперечных сил (см. рис.1): для участка по переменной ; для участка по переменной и для участка DE по переменной , взятых справа от опоры , а для участка по переменной , взятой слева от опоры , т.к. справа от сечения IV-IV внешних сил меньше, чем слева, поэтому вычислить будет проще:

;

;

;

.