Однородной линии

Напряжение ток в линии являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты χ, определяющей место наблюдения, и времени t, определяющего момент наблюдения. Здесь предполагается, что направление координатной оси χ совпадает с направлением оси линии.

Рис.11-2.Элементарный участок цепи с равномерно распределенными параметрами.

Нашей ближайшей задачей является нахождение пространственно-временного распределения величин тока в линии i(x,t) и напряжение между проводами u(x,t).При этом в общем случае может рассматриваться передача электромагнитной энергии по линии, когда источник и приемник имеются на обоих концах линии.

Выберем положительное направление тока в линии слева направо (рис. 11-2) и условимся называть «началом» линии левый конец, а «концом» линии- правый конец. Расстояние до произвольной точки линии от начала обозначим через χ, а от конца – через χ^’ . Таким образом, вся длина линии l=x+x^’

Выделим элементарный участок линии длиной ∆х, находящийся на расстоянии х от начала. Пользуясь первичными параметрами r,g,L, и С, отнесенными к единице длины линии, приближенно представим рассматриваемый элементарный участок линии в виде последовательно включенных сопротивления r∆x и индуктивности L∆x и параллельно включенных активной проводимости g∆x и емкости С∆х.

Обозначим:

u-напряжение между верхним и нижним проводами в точке х;

∆u- приращение напряжение на участке ∆х.

i - ток в точке х;

∆i - приращение тока на участке ∆х.

Уравнения для приращений напряжений и тока на элементе длины ∆х запишутся следующим образом:

 

.

-∆u =(ri+Ldi/dt) ∆х;

-∆ i =[g(u+∆u)+C(∂(u+∆u))/∂t] ∆х.

 

Ввиду наличия двух независимых переменных (х и t) уравнения записываются в частных производных.

По мере стремления ∆х к нулю степень точности этих уравнений повышается, причем величина второго порядка малости [g∆u +C(∂u)/∂t] ∆х в правой части нижнего уравнения (11-1) может быть опущена.

Итак, линя рассматривается как цепная схема с бесконечно большим числом звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы.

Разделив обе части уравнений (11-1) на ∆х и перейдя к пределу ∆х=0, получаем дифференциальные уравнения линии:

 

.

 

Эти уравнения известны в литературе под названием телеграфных уравнений.

Если за начало отсчета принять конец линии, т.е. ввести координату χ^’ , то уравнения примут вид:

.

 

Уравнения (11-2) или (11-3) могут быть решены однозначно при использовании начальных и граничных условий. Начальными условиями будут значения напряжения и тока в начале или конце линии в момент времени, принятый за нуль. Граничные условия определяются связями между напряжением и током в начале или конце линии, зависящими от заданного режима работы линии.

Решение указанных выше уравнений дает функциональные зависимости напряжения и тока в линии от переменных (или ) и .