Спектры периодических сигналов

Известно, что любую функцию s(t), кусочно-непрерывную на интервале а£ t £b и ограниченную по норме , можно разложить в ряд, называемый обобщенным рядом Фурье по полному набору (базису) ортогональных функций

.

(2.1)

Функции называются ортогональными, если выполняется соотношение:

при m ¹ к; - норма.

Для комплексных функций Y _к(t), Y_к^*(t) есть комплексносопряженная ей функция.

Коэффициенты ряда определяются умножением поочередно (2.1) на и интегрированием по периоду, при этом из-за ортогональности функций справа остается только один член:

(2.2)

Обобщенный ряд Фурье при заданной системе функций и при фиксированном числе слагаемых ряда обеспечивает минимум среднеквадратичной ошибки разложения:

При этом говорят о среднеквадратичной, энергетической сходимости ряда к функции s(t).

Для представления периодических сигналов s(t+T) = s(t) с периодом T = b-a вне интервала a £ t £ b базисные функции Y _к(t) также должны быть периодическими с периодом к - целое число.

В радиотехнике в качестве базисных функций разложения Фурье используют преимущественно тригонометрические функции. Это объясняется следующими причинами:

а) функции cos wt, sin wt являются простыми, определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;

б) гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, можут изменяться лишь амплитуда и фаза;

в) для гармонических функций и их комплексного анализа имеется мощный математический аппарат, найдены спектры множества форм сигналов;

г) гармоническое колебание легко осуществить на практике.

Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие типы разложения: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, полиномам Чебышева, Ляггера, Лежандра и др.

Гармонический ряд Фурье может быть представлен в следующих видах:

(2.3)

где

A_n - амплитуда гармоник, nw₁ - частота гармоник, j_n - фаза гармоник, - комплексная амплитуда гармоник. Все виды разложения (2.3) тождественны и переходят один в другой.

При выбранном знаке перед j_n фаза гармоник является аргументом комплексной амплитуды.

Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее. Сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причем для линейных цепей верен принцип суперпозиции, согласно которому действие на систему сложного сигнала, состоящего из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определенной частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.