Геометрическая интерпретация

Рассмотрим график функции . Это означает, что решение уравнения и - это точка пересечения с прямой :

И следующая итерация - это координата пересечения горизонтальной прямой точки с прямой .

Из рисунка наглядно видно требование сходимости .

Уравнение: 1.

2.

Программа1: FUNCTION f(x)

implicit none

real(8):: x

real(8):: f

f = x**2-log(x+1)

RETURN

END FUNCTION

 

function p(x)

implicit none

real(8):: x

real(8):: p

p = log(x+1)/x

return

end function

 

Program Equations

implicit none

real(8):: x11,x12,x21,x22,lam

real(8):: f,p

integer:: i

real(8):: eps = 0.0000001

open(2,file='Eq_log.txt')

print '(A)', 'Insert ends of interval: '

read *, x11,x12

x21=x11

x22=x12

lam = (x12-x11)/(f(x12)-f(x11))

write(2,*) 'Секущие'

i=0

do while (abs(x11-x12) > eps)

i=i+1

x11=x12

x12=x11-lam*f(x11)

write(2,*) i, ' ', x12

end do

write(2,*) 'Итерации'

i=0

do while (abs(x22-x21)>eps)

i=i+1

x21=x22

x22=p(x21)

write(2,*), i, ' ', x22

enddo

close(2)

 

END program Equations

Программа2:

function f(x)

implicit none

real(8):: x

real(8):: f

f = x**2-3*x**2+3.5

return

end function

 

function p(x)

implicit none

real(8):: x

real(8):: p

p = x**2/3+3.5/(3*x)

return

end function

 

Program Equations

implicit none

real(8):: x11,x12,x21,x22,lam

real(8):: f,p

integer:: i

real(8):: eps = 0.0000001

open(2,file='Eq_poly.txt')

print '(A)', 'Insert ends of interval: '

read *, x11,x12

x21=x11

x22=x12

lam = (x12-x11)/(f(x12)-f(x11))

write(2,*) 'Секущие'

i=0

do while (abs(x11-x12) > eps)

i=i+1

x11=x12

x12=x11-lam*f(x11)

write(2,*) i, ' ', x12

end do

write(2,*) 'Итерации'

i=0

do while (abs(x22-x21)>eps)

i=i+1

x21=x22

x22=p(x21)

write(2,*), i, ' ', x22

enddo

close(2)

 

end program Equations

 

Результаты:Перед написание программы были проверены достаточные условия, найдены производные функций g(x), проверено, что по модулю они меньше 1.

1-е уравнение (на отрезке [0.5,1.5]: i=17 x= 0.74688169556131867(метод секущих)

i= 0.74688175835878434(метод простых итераций)

2-е уравнение(на отрезке [1,2]): i=9, x= 1.5579738866642465(метод секущих)

i=29 x= 1.5578747884912496(метод простых итераций)

 

Вывод: в результате проведенной работы были найдены решения двух нелинейных уравнений методом секущих и методом простых итераций. (Был найден только один корень для каждого уравнения.) В результате сравнения полученных результатов было выяснено, что наиболее точным можно считать метод секущих.

Решение первого уравнения: 0.747

Решение второго уравнения: 1.558