Основные свойства собственных значений.
1. Все п собственных значений симметричной матрицы размерности пХп, состоящей из действительных чисел, действительные. Это полезно помнить, так как матрицы, встречающиеся в инженерных расчетах, часто бывают симметричными.
2. Если собственные значения матрицы различны, то ее собственные векторы ортогональны. Совокупность п линейно независимых собственных векторов образует базис рассматриваемого пространства. Следовательно, для совокупности линейно независимых собственных векторов X i, где i == 1,..., n, любой произвольный вектор в том же пространстве можно выразить через собственные векторы. Таким образом,
n Y = S aiXi. i=1
3. Если две матрицы подобны, то их собственные значения совпадают. Из подобия матриц A и В следует, что В = Р-1АР.
Так как А Х = l Х, то Р-1АХ = lР-1Х. Если принять Х == Р Y, то Р-1АР Y = l Y, а В Y == l Y.
Таким образом, матрицы A и В не только имеют одинаковые собственные значения, но и их собственные векторы связаны соотношением Х = Р Y. 4. Умножив собственный вектор матрицы на скаляр, получим собственный вектор той же матрицы. Обычно все собственные векторы нормируют, разделив каждый элемент собственного вектора либо на его наибольший элемент, либо на сумму квадратов всех других элементов.
|
