Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или собы­тия В, или обоих этих событий. Например, если из ору­дия произведены два выстрела и А—попадание при пер­вом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то Л + В — попадание при первом выстреле, или при вто­ром, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В — несовместные, то А-\-В—событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, кото­рое состоит в появлении хотя бы одного из этих собы- Т 1 Й. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А я С, В и С, А и В я С.

Пусть события А и В—несовместные, причем вероят­ности этих событий известны. Как найтн вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несов­местных событий, безразлично какого, равна сумме веро­ятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Доказательство. Введем обозначения: п—общее число возможных элементарных исходов испытания; т^ — число исходов, благоприятствующих.событию А; т_г — число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m_t + m_a. Следовательно,

Р (А + В) = (т, + т_Л)/п = mjti + mjn.

Приняв во внимание, что mjn = Р (А) и mjn — Р (В), окончательно получим

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из не­скольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р + A_a+... + А_Л) = Р (Л₄) + Р (А,) + — -4-Р (А_т).

Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несов> местны, то появление одного нз трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного нз двух событий, А+В и С, поэтому в силу указанной теоремы

Р(А + В + 0=Р[(А + В) + С\ = Р{А + В) + Р(С) =

= Р(А) + Р(В) + Р(С).

Для произвольного числа попарно несовместных собы­тий доказательство проводится методом математической индукции.

Пример I. В урне 30 шаров: 10 красных, S снинх я 15 белых. Найти вероятность появления цветного тара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо краевого, либо синего шара.