Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события Л, В, С попарно независимы, если независимы события Л и В, А и С, В и С.

Для того чтобы обобщить теорему умножения на не­сколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Несколько событий называют независимыми в совокуп­ности (или просто независимыми), если независимы ка­ждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если со­бытия A_t, A_t, А, независимы в совокупности, то неза­висимы события А. и A., A_t и A_t, A_t и А,; А_х и А_ЯА„ А_% и A_tA_t, A_t и А_гА_л. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероят­ность появления любого события нз них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие собы­тия из числа остальных, равна его безусловной вероят­ности.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один — в красный цвет (А), один — в синий цвет (В), один — в черный цвет (С) и один—во все эти три цвета (ABC). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то Р (А) = 2/4 = 1/2. Рассуждая аналогично, найдем Р (В) = 1/2, Р (С) = 1/2. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. е. событие В уже произошло. Изме­нится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т. е. изменится ли вероятность события А? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события А по-преж­нему равна 1/2. Другими словами, условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следова­тельно, события А и В независимы. Аналогично придем к выводу, что события А и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С попарно независимы.

Независимы ли эти события в совокупности? Оказы­вается, нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероят­ность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события В я С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит. Следовательно, это

событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность Рве (Л) = 1 собы­тия А не равна его безусловной вероятности Р (А) = 1/2. Итак, попарно независимые события Л, В, С не являются независимыми в совокупности.