Решение. Очевидно, искомая плотность распределения/ (х) =8e-8jc при х^О; f(x) = 0 прн х < 0. Искомая функция распределения F(x) = 1—e-8jc при х^О; F(x) — Q при х < 0. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины Найдем вероятность попадания в интервал (а, Ь) непрерывной случайной величины X, которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения F ( х) — 1 —е_Ал 0). Используем формулу (см. гл. X, § 2, следствие 1) Р(а<Х < b) = F(b) — F(a). Учитывая, что F(a)=l—е-Ял, F(b) — 1—е~хь, получим Р (а < X < b) — е ~кь. (*) Значения функции е--* находят по таблице. Пример. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону f(x) = 2е~2* при х^О; / (лс) == 0 при х < 0. Найтн вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,3, I). Решение. По условию, А, = 2. Воспользуемся формулой (*): Р (0,3 < X < l) = e-<2-°-3>-e-<2-»=e-0-6-e-2 = = 0,54881—0,13534 =-0,41. Числовые характеристики показательного распределения Пусть непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону (0 при х < О, / (*)= | Хе~Кх при х>0. Найдем математическое ожидание (см. гл. XII, § 1): Ос оо М (X) = ^ xf (x)dx = X^ xe-^dx. О о Интегрируя по частям, получим М (X) = 1 А. (*) Таким образом, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра X. Найдем дисперсию (см. гл. XII, § 1): СО 00 D(X) = \ x*f (х) dx — [М (X)]2 = X J x*e~bxdx—l/X\ О о Интегрируя по частям, получим Со X I x2e~>-xdx = 2/АЛ О
|
