Итак, по определению,F* (х) = пх/п, где пх —число вариант, меньших х; п — объем выборки. Таким образом, для того чтобы найти, например, F*(xz), надо число вариант, меньших х2, разделить на объем выборки: F[3] (хг) = пХ1/п. В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F (х) определяет вероятность события X < х, а эмпирическая функция F*(x) определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события X < х, т. е. F* (х) стремится по вероятности к вероятности F (х) этого события. Другими словами, при больших п числа F* (х) и F (х) мало отличаются одно от другого в том смысле, что lim P[|F(x)— П —► сю — F* (х) | < е] = 1 (е > 0). Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. Такое заключение подтверждается и тем, что F* (х) обладает всеми свойствами F (х). Действительно, из определения функции F* (х) вытекают следующие ее свойства: значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0, 1]; F* (х) — неубывающая функция; если х1 — наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х^хг; если xk — наибольшая варианта, то F* (х) = 1 при *>**•
|
