Пример 3. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра X показательного распределенияf (х) — (0<X<<3O), если в результате п испытаний случайная величина X, распределенная по показательному закону, приняла значения хи хахп. Решение. Составим функцию правдоподобия, учитывая, что 0 = Я,: L = f(xu \)f(xa; X)... /<*„; k) = (te~^) (Хе"^>)... (Хе"^*)- Отсюда L=-X»e_X2*'. Найдем логарифмическую функцию правдоподобия: In L = n In Я, — Я. У Х[. Найдем первую производную по А.: din L п ^ ~ж т “2- '• Напишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю: (лА)— 2*«' = 0- Найдем критическую точку, для чего решим полученное уравнение относительно Я,: = п/2 *«■ = 1 /(2 х,'1п) = 1 /*>■; Найдем вторую производную по Я,: d2 InL п йУ? ~~1? ' Легко вндеть, что при Я,=! /хв вторая производная отрицательна; следовательно, \=\/хв — точка максимума и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра X показательного распределения надо принять величину, обратную выборочной средней: Х*=1/7В. Замечание. Если плотность распределения /(ж) непрерывной случайной величины X определяется двумя неизвестными параметрами 0Х и 02, то функция правдоподобия является функцией двух независимых аргументов 0Х и 02: L — f (* 1; 0i, 0а) / С*з» 0i, 02)... / (хп\ 0i, 02), где xlt х2, хп — наблюдавшиеся значения X. Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отыскания ее максимума составляют н решают систему д In L Й0Х —U’ dlnjL_n д%
|
