Выборочного коэффициента корреляцииПусть двумерная генеральная совокупность (X, У) распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема п и по ней найден выборочный коэффициент корреляции гв, который оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности гг также отличен от нуля. В конечном счете нас интересует именно этот коэффициент, поэтому возникает необходимость при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н0:гт = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе 7/1:гг = 0. Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (кратко говоря, значим), а X и У коррелированы, т. е. связаны линейной зависимостью. Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а X и Y не- коррелированы, т. е. не связаны линейной зависимостью. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину T = ryW=2iVT~f%. Величина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с k — n — 2 степенями свободы. Поскольку конкурирующая гипотеза имеет видгг=т^0, критическая область—двусторонняя; она строится так же, как в § 12 (первый случай). Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через Т„а6„ и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н0:гт — О о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе Н1:гтФ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия: 7’набл= гУп — ilV 1—rj и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k = n — 2 найти критическую точку tKP (a; k) для двусторонней критической области. Если | Гнабл| < *Кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |7\,абл1>*кр—нулевую гипотезу отвергают. Пример. По выборке объема л—122, извлеченной нз нормальной двумерной совокупности, найден выборочный коэффициент корреляции гв = 0,4. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Ях:гг Ф 0. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия: Т’набл = ryi^jYT^l = 0,4]/"122 —2/^1 — 0,4* = 4,78. По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид гг Ф 0, поэтому критическая область — двусторонняя. По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы к = = 122 — 2=120 находим по таблице приложения 6 для двусторонней критической области критическую точку /кр(0,05; 120)= 1,98. Поскольку Т’набл > ^кр—нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, т. е. К и Y коррелированы.
|
