Поняття квадратичної матриці й квадратичної форми

При розв'язанні різних задач застосування часто доводиться досліджу­вати квадратичні форми.

Визначення. Квадратичною формою Ь(х₁, х₂,..., х_п) від п змінних нази­вається сума, кожен член якої є або квадратом однієї зі змінних, або добутком двох різних змінних, узятих з деяким коефіцієнтом:

 

)=ЕЕ і=і і=і

аухх

^Ь (хр ^Х2,..., х_п

 

Припускаємо, що коефіцієнти квадратичної форми - дійсні числа, при­чому а у = а_]і. Нагадаємо, що така матриця називається симетричною. Матриця

А = (агу) (і,у = 1,2,..., п), складена із цих коефіцієнтів, називається матрицею квадратичної форми. її діагональні елементи дорівнюють коефіцієнтам при квадратах змінних, а інші елементи - половинам відповідних коефіцієнтів ква­дратичної форми.

У матричному записі квадратична форма має вигляд:

Ь = Х^ТАХ,

 

т

Х-Л

де X:

- матриця-стовпець змінних, а X = (х₁, х₂,..., х_п) - матриця-

 

V ^Хп У

рядок змінних.

Дійсно, якщо помножити матрицю-рядок Х^т розмірністю 1 х п на матри­цю квадратичної форми А розмірністю п х п одержимо матрицю-рядок розмір­ністю 1 х п, що при множенні на матрицю-стовпець X розмірністю п х 1 дає квадратичну форму розмірністю 1 х 1:

 

х х1 х2

а11 а12 а21 а22

а1п а2п

^Ь = (^х1 ^х2.•• ^хп) 1хп

 

V ^ап1 ^ап 2. ^а

п п

п п

х2

а]пхі

пхп

п п

ЕЕ^ау1^х/ ЕЕ^а]2^хі. ЕЕ

пп у V хп у пх1 х х1 Л

V і=1 у =1 і=1 у=1 і=1 у=1

 

V ^хп У

 

п п

п п

п п

п п

 

аі]хіхІ.

ЕЕ^ауі^хі^хі + ЕЕ^ау2^хі^х2 +. + ЕЕ^ауп^хі^хп=ЕЕ і=1 ]=1 і=1 ]=1 і=1 ] =1 і=1 ]=1