Введение 3 страница

Рассмотрим равновесие подвесной балки СЕ. Определим реакции опор. Реакцию Y_E прикладываем к балке с обратным знаком.

Рис.4.7. Схема шарнирной балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

 

Проверяем правильность определения реакций опор:

Cтроим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке CE шарнирной балки:

В точке E:

В точке D (правее):

В точке D (левее):

В точке С:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на консольной балке АС:

В точке С:

В точке B (правее):

В точке B (левее):

В точке A:

Определим момент в точке L (эпюра поперечных сил меняет знак):

Проверим несущую способность балки:

(из эпюры изгибающих

моментов, рис.4.7),

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена.

 

Проверим прочность балки по касательным напряжениям:

Для двутавра №24 из сортамента (Приложение 1):

Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.

 

З а д а ч а 4.8.

 

Для заданной рамы (рис 4.8) построить эпюры внутренних усилий, если m=20 кН·м, q=12 кН/м, F=10кН.

 

Решение.

Определим реакции опор, составив уравнение равновесия: ΣМ_А = 0:

Рис.4.8 Схема рамы и эпюра продольных сил.

 

Проверим правильность определения опорных реакций:

 

Рис.4.9 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

 

Построим эпюру продольных сил (рис.4.8):

Участок АВ:

Участок BD:

Участок KD:

 

Построим эпюры поперечных сил (рис.4.9):

Участок АВ:

в точке А: в точке В:

Участок BD:

в точке С: в точке D:

Участок ЕD:

в точке Е: в точке D:

Участок LB:

в точке L: в точке В:

Построим эпюру изгибающих моментов (рис.4.9):

Участок АВ:

(растянутые волокна снизу)

Участок LВ:

(растянутые волокна слева)

(растянутые волокна справа)

Участок BС:

(растянутые волокна снизу).

Участок КD:

(растянутые волокна справа).

Участок DC:

 

(растянутые волокна снизу)

(растянутые волокна снизу).

Определим

Задача 4.9.

 

Для заданной рамы (рис 4.10) построить эпюры внутренних усилий,

если m=16 кН·м, q=10 кН/м, F=20кН.

 

Решение.

Определим реакции опор:

Построим эпюру продольных сил (рис.4.10):

Участок DE:

Участок CD:

(растяжение).

Участок АС:

(растяжение).

Построим эпюры поперечных сил (рис 4.11):

Участок DE:

 

Рис. 4.10. Схема рамы и эпюра продольных сил.

Участок CD:

Участок BC:

Участок АВ:

Построим эпюры изгибающих моментов (рис.4.11):

 

Рис. 4.11. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Участок ED:

(растянутые волокна слева),

(растянутые волокна слева).

Участок СD

: (растянутые волокна слева),

(растянутые волокна слева).

Участок СВ:

(растянутые волокна снизу),

(растянутые волокна снизу).

Участок ВА: М_В = 116,6 кН·м, (растянутые волокна снизу).

(растянутые волокна).

Задача 4.10

Балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетными сопротивлениями R=210МПа, и модулем продольной упругости Е=200ГПа.

Требуется:

1) подобрать сечение двутаврового профиля и проверить прочность в учетом собственного веса;

2) в одном из сечений балки, имеющем одновременно большие значения поперечной силы Q и изгибающего момента M, определить напряжения σ и τ на уровне примыкания полки к стенке и проверить прочность используя энергетическую теорию прочности; для сравнения выполнить проверку прочности по третьей теории прочности; выделить вокруг указанной точки элемент балки и показать на схеме нормальные, касательные и главные напряжения;

3) используя один из известных методов определить прогибы посередине пролета и на конце консоли, построить эпюру прогибов балки;

4) проверить жесткость балки при допустимом относительном прогибе:

 

а=2 м,

b=3 м,

с=2 м,

d=4 м,

F=20 кН,

M=10 кНм,

q=12кН/м.

Рис. 4.12. Схема балки.

 

Определим опорные реакции в балке и построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Составим уравнение равновесия:

;

Осуществляем проверку правильности определения опорных реакций:

Строим эпюру поперечных сил (рис 4.13):

 

Рис.4.12. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Рис.4.13. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов от собственного веса балки.

 

Строим эпюру изгибающих моментов (рис 4.13):

. Подберем сечение балки в виде двутавра, используя следующее условие прочности: откуда требуемый момент сопротивления.

(согласно эпюре изгибающих моментов).

Пользуясь сортаментом (Приложение1), выбираем двутавр №36:

(собственный вес балки);

Проверим прочность балки с учетом собственного веса.

Определим опорные реакции от действия собственного веса балки (q=0,486кН).

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Усилия в балке с учетом собственного веса:

Прочность балки с учетом собственного веса:

Прочность балки с учетом собственного веса обеспечена.

Проверим прочность балки по главным напряжениям. Выберем опасное сечение балки, в котором имеется сочетание максимального изгибающего момента и поперечной силы. (точка С):

Проведем анализ сечения.

Определим нормальные и касательные напряжения в точке 1 (сжатие):

Рис.4.15. Сечение балки. Эпюры нормальных и касательных напряжений.

(сжатие)

(растяжение);

(растяжение);

т.к.

(статический момент площади сечения выше точки 2).

- статический момент площади половины сечения двутавра.

Определим экстремальные касательные напряжения в точке 2 сечения:

Главные напряжения:

Проведем полную проверку прочности балки, используя энергетическую теорию прочности:

Прочность балки по главным напряжениям обеспечена.

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений, действующих в поперечном сечении балки (рис 4.15).

Рассчитаем главные напряжения, действующие в сечении С.

Для точки 1:

Для точки 2:

Для точки 3.

Для точки 4.

Рассчитаем максимальные касательные напряжения, действующие в сечении:

Для точки 1:

Для точки 2:

Для точки 3:

Построим эпюру максимальных касательных напряжений (рис4.15).

Построим упругую линию балки, используя метод начальных параметров.

Обобщенное уравнение изогнутой оси имеет вид:

,

где а, в и с - координаты соответствующих нагрузок.

Рис 4.16. Упругая линия балки.

Для определения начальных параметров и зададимся условием, что прогиб на опоре D равен 0.

Запишем уравнение прогибов для Z =7м:

Определим прогиб в середине пролета при Z =3,5м:

Определим прогиб в конце пролета при Z=11м:

Так как распределенная нагрузка q действует не до конца балки, то продляем ее до точки К, приложив на участке DK q с обратным знаком.

Определим углы поворота на опорах:

Переведем в градусы, умножив на

Определим максимальный относительный прогиб в пролете балки:

Условие жесткости выполняется.

 

5. НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ.

Задача 5.1.

Многопролетная (неразрезная) балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R=210МПа, Rc = 130МПа и модулем упругости Е = 210ГПа,

m=12 кН·м, q=8 кН/м, F=10кН, а = 1м.

Для данной балки требуется:

- построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов;

- подобрать сечение из прокатного двутавра;

- определить прогибы посредине каждого пролета и показать на схеме балки очертание ее изогнутой линии.

Решение.

При расчете неразрезных балок удобно в качестве основной принимать систему, получаемую из заданной врезанием на промежуточных опорах шарниров. При таком выборе основной системы неразрезная балка распадается на отдельные однопролетные балки, имеющие по одной общей опоре. Лишними неизвестными являются изгибающие моменты в опорах сечения, которые определяются из условий отсутствия взаимных углов поворота сечений над шарнирами. Эпюры моментов от заданных нагрузок и опорных единичных моментов в каждом пролете строятся, как для свободной двухопорной балки (рис, 5.1).

Находим степень статистической неопределимости системы. Балка имеет две избыточные связи.

В качестве основной принимаем систему с врезанными на опорах В и С шарнирами (рис.5.1).

Рис. 5.1. Схема неразрезной балки. Основная система.

 

Строим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок для каждого из участков балки.

Участок АС

, ,

.

, , ,

 

Рис. 5.2. Грузовые и одиночные эпюры, построенные в основной системе.

Рис. 5.3. Схема элементов балки с рассчитанными неизвестными.

Рис. 5.4. Схема балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Линия прогибов балки.

Строим эпюру изгибающих моментов (рис.5.2):

М_А= -12кН· м, М_В=12кН ·м, Мс=0.

Определим экстремальное значение изгибающего момента в пролете:

Участок CD:

Строим эпюру изгибающих моментов (рис.5.2): Мс=М_D =0.

Определим момент посредине пролета ():

Участок DE:

Строим эпюру изгибающих моментов (рис.5.2):