Понятие когерентности. Временная и пространственная когерентность.

Лекция 3.7

Как уже отмечалось интерференционную картину можно наблюдать лишь при наложении когерентных волн. Обратим внимание на то, что в определении когерентных волн отмечено не существование, а наблюдение интерференции. Это означает, что наличие или отсутствие когерентности зависит не только от характеристики самих волн, но и от промежутка времени регистрации интенсивности. Одна и та же пара волн может быть когерентной при одном времени наблюдения и некогерентной при другом.

Две световые волны, полученные из одной методом деления амплитуды или методом деления волнового фронта, не обязательно интерферируют друг с другом. В точке наблюдения складываются две волны с волновыми векторами и . Есть две основные причины возможной некогерентности таких волн.

Первая причина — немонохроматичность источника света (или непостоянство модулей волновых векторов). Монохроматичный свет — свет одной частоты. Строго монохроматичная волна в каждой точке пространства имеет не зависящую от времени амплитуду и начальную фазу. Как амплитуда так и фаза реальной световой волны испытывают некоторые случайные изменения во времени. Если изменения частоты невелики и изменения амплитуды достаточно медленные (их частота мала по сравнению с оптической частотой ), то говорят, что волна квазимонохроматическая.

Вторая причина возможной некогерентности световых волн, полученных из одной волны — пространственная протяженность реального источника света (или непостоянство направления каждого из волновых векторов).

В реальности имеют место обе причины одновременно. Однако для простоты разберем каждую причину отдельно.

^ Временная когерентность.

Пусть имеется точечный источник света S и и , являющиеся действительными или мнимыми его изображениями (рис.3.6.3 или 3.6.4). Допустим, что излучение источника состоит из двух близких и одинаково интенсивных волн с длинами волн и (очевидно то же будет справедливо и для источников и ). Пусть начальные фазы источников и одинаковы. В некоторую точку экрана лучи с длинами волн и придут в одинаковых фазах. Назовем эту точку центром интерференционной картины. Для обеих волн там получится светлая полоса.В другой точке экрана, где разность хода (N – целое число, номер полосы) для длины волны получится также светлая интерференционная полоса. Если та же , то в ту же точку экрана лучи с длиной волны придут уже в противофазах, и для этой длины волны интерференционная полоса будет темной. При этом условии в рассматриваемой точке экрана светлая полоса наложится на темную – интерференционная картина исчезнет. Таким образом, условие исчезновения полос есть , откуда максимальный номер интерференционной полосы

. (3.7.1)

Перейдем теперь к случаю, когда свет от источника представляет собой совокупность волн с длинами, лежащими в интервале . Разобьем этот спектральный интервал на совокупность пар бесконечно узких спектральных линий, длины волн которых отличаются на . К каждой такой паре применима формула (3.7.1), где нужно заменить на . Поэтому исчезновение интерференционной картины произойдет для порядка интерференции

(3.7.2)

Эта формула дает оценку максимально возможного порядка интерференции. Величину называют обычно степенью монохроматичности волны.

Таким образом, для наблюдения интерференционной картины при разбиении волны по ходу луча разность хода двух полученных волн не должна превышать величины , которую называют длиной когерентности l

≤ . (3.7.3)

П онятие длины когерентности можно пояснить следующим образом. Рассмотрим две точки на одном луче как два возможных вторичных источника света для наблюдения интерференционной картины. При этом расстояние от каждой из точек до мысленного экрана предполагается одинаковым (рис.3.7.1).

Здесь и — две выбранные вдоль луча

Рис.3.7.1. точки, в которые мысленно поместим полупрозрачные пластинки для получения интерференционной картины на экране . Пусть .Оптическая разность хода для интерферирующих лучей и , равна . Если превышает величину , то как указывалось выше интерференционная картина «смазывается», и, следовательно, вторичные источники света в точках и оказываются некогерентными. Расстояние между точками и , при котором это начинает происходить, называется длиной когерентности вдоль луча, длиной продольной когерентности или просто длина когерентности.

Расстояние, равное длине когерентности, волна проходит за время когерентности

. (3.7.4)

Временем когерентности можно назвать максимальный промежуток времени, при усреднении по которому еще наблюдается эффект интерференции.

Опираясь на приведенные оценки, можно оценить толщину пленки, с помощью которой можно получить интерференционную картину (расшифровать термин «тонкая пленка», использованный в предыдущей лекции). Пленку можно назвать «тонкой», если разность хода волн, дающих интерференционную картину, не превышает длины когерентности световой волны. При падении волны на пленку под малым углом (в направлении близком к нормали) разность хода равна 2bn (формула (3.6.20)), где b – толщина, а n – показатель преломления материала пленки. Поэтому интерференционную картину можно получить на пленке, для которой 2bn ≤ l = . (3.7.5) Заметим, что при падении волны под большими углами нужно еще учитывать возможную некогерентность разных точек волнового фронта.

Оценим длину когерентности света, излучаемого разными источниками.

1.Рассмотрим свет, излучаемый естественным источником (не лазером). Если на пути света поставить стеклянный светофильтр, ширина полосы пропускания которого ~ 50нм, то для длины волны середины оптического спектрального интервала ~ 600нм получим, согласно (3.7.3), ~ 10 м. Если же светофильтр отсутствует, то длина когерентности будет примерно на порядок меньше.

2.Если источником света является лазер, то его излучение обладает высокой степенью монохроматичности ( ~ 0,01нм) и длина когерентности такого света для той же длины волны окажется порядка 4·10 м.

^ Пространственная когерентность.

Возможность наблюдать интерференцию когерентных волн от протяжённых источников приводит к понятию пространственной когерентности волн.

Для простоты рассуждений представим, что источники когерентных электромагнитных волн с одинаковыми начальными фазами и с длиной волны расположены на отрезке длины b, находящемся на расстоянии l» b от экрана (рис.3.7.2), на котором наблюдается их интерференция. Наблюдаемая на экране интерференционная картина может быть представлена как наложение интерференционных картин, создаваемых бесконечным множеством пар точечных когерентных источников, на которые можно мысленно разбить протяжённый источник.

Рис.3.7.2.

 

Выделим среди всего множества источников источник, расположенный посредине отрезка, и сравним интерференционные картины двух пар, одна из которых образована центральным источником и некоторым произвольно выбранным близко расположенным к нему источником, а другая - центральным и источником, расположенным на одном из концов отрезка. Очевидно, что интерференционная картина пары близкорасположенных источников будет иметь близкое к максимальному значению в центре экрана в точке наблюдения (рис. 3.7.2). В тоже время интерференционная картина другой пары будет иметь значение, зависящее от оптической разности хода электромагнитных волн, испускаемых источниками в центре отрезка и на его крае

≈ ,

(3.7.6)

где - угловой размер источника (рис.3.7.2), который ввиду «l достаточно мал, так, что справедливы очевидные преобразования, использованные при выводе формулы (3.7.6).

Отсюда следует, что волны от различных точек протяжённого источника, приходящие в точку наблюдения, расположенную в центре экрана, будут иметь по отношению к волне от центрального источника оптическую разность хода, изменяющуюся по линейному закону от нуля до максимального значения 0,25 . При определённой длине источника приходящие в точку наблюдения волны могут иметь фазу, отличающуюся на 180^о от фазы волны, излучаемой центральной точкой отрезка. В результате этого волны, приходящие в центр экрана от различных частей источника, будут уменьшать значение интенсивности по сравнением с максимальным, которое имело бы место, если бы все волны имели одинаковую фазу. Эти же рассуждения справедливы и по отношению к другим точкам экрана. Вследствие этого интенсивности в максимумах и минимумах интерференционной картины протяжённого источника будут иметь близкие значения и видность интерференционной картины будет стремиться к нулю. В рассматриваемом случае это имеет место при в (3.7.6). Значение наименьшей длины отрезка (источника) , соответствующее этому условию определяется из соотношения (в этом случае т=1):

.

В оптике и теории электромагнитных волн половина этого значения определяет т.н. радиус пространственной когерентности электромагнитных волн, излучаемых протяжённым источником:

.

(3.7.7)

 

Физический смысл понятия радиуса пространственной когерентности протяжённого источника состоит в представлении о возможности наблюдения интерференционной картины от протяжённого источника, если он размещается внутри круга радиуса . Из сказанного следует вывод, что пространственная когерентность электромагнитных волн определяется угловым размером их источника.

Пространственная когерентность - это когерентность света в направлении, перпендикулярном лучу (поперек луча). Получается, что это когерентность разных точек поверхности равной фазы. Но на поверхности равной фазы разность фаз равна нулю. Однако для протяженных источников это не совсем так. Реальный источник света не точечный, поэтому поверхность равных фаз испытывает небольшие повороты, оставаясь в каждый момент времени перпендикулярной направлению на излучающий в данный момент точечный источник света, расположенный в пределах реального источника света. Повороты поверхности равной фазы вызваны тем, что свет в точку наблюдения приходит то от одной, то от другой точки источника. Тогда, если предположить, что на такой псевдоволновой поверхности расположены вторичные источники, волны от которых могут дать интерференционную картину, то можно дать определение радиуса когерентности другими словами. Вторичные источники на псевдоволновой поверхности, которые можно считать когерентными, располагаются внутри круга, радиус которого равен радиусу когерентности. Диаметр когерентности это максимальное расстояние между точками на псевдоволновой поверхности, которые можно считать когерентными.

Возвратимся к опыту Юнга (лекция 3.6). Чтобы получить в этом опыте четкую интерференционную картину, необходимо, чтобы расстояние между двумя щелями S и не превышало диаметр когерентности. С другой стороны, как видно из (3.7.7), радиус (а, следовательно, и диаметр) интерференции увеличивается с уменьшением углового размера источника. Поэтому d- расстояние между щелями и и b- размер источника S связаны обратной зависимостью b·d ≤ l. (3.7.8)