Тангенциальная составляющая уско­рения

 

 

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускоре­ния. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому As можно счи­тать дугой окружности некоторого радиу­са r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует D v_n/AB = v ₁ /r, но так как AB = vDt, то

В пределе при Dt®0 получим v₁®v.

Поскольку v1®v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равно­бедренный, то угол ADE между v и Dv_n стремится к прямому. Следовательно, при Dt®0 векторы Dv _n и v оказываются взаим­но перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к тра­ектории, то вектор Dv_n, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускоре­ния, равная

называется нормальной составляющей ус­корения и направлена по нормали к тра­ектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометри­ческая сумма тангенциальной и нормаль­ной составляющих (рис.5):

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту из­менения скорости по направлению (на­правлена к центру кривизны траекто­рии).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения дви­жение можно классифицировать следую­щим образом:

1) а_t=0, а _n = 0 — прямолинейное рав­номерное движение;

2) a_t=a=const, a_n=0 — прямолиней­ное равнопеременное движение. При та­ком виде движения

Если начальный момент времени t ₁ =0, а начальная скорость v₁ =v ₀, то, обозна­чив t ₂ = t и v ₂ = v, получим a = (v-v₀ )/t, откуда

v =v ₀ +at.

Проинтегрировав эту формулу в пре­делах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, прой­денного точкой, в случае равнопеременно­го движения

3) а_t=f(t), а _n =0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) а_t=0, а _n =const. При а_t=0 ско­рость по модулю не изменяется, а изменя­ется по направлению. Из формулы а _n = v²/r следует, что радиус кривизны до­лжен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равно­мерным;

5) а_t=0, а _n ¹0 — равномерное кри­волинейное движение;

6) a_t=const, a_n¹0—криволинейное равнопеременное движение;

7) a_t= f(t), a_n¹0 — криволинейное движение с переменным ускорением.