Перпендикулярности плоскостей.

Если две плоскости (α₁ и α₂) заданы общими уравнениями вида:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁ =0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂ =0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n ₁={ A₁,B₁,C₁) и n ₂={ A₂,B₂,C₂). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями α₁ и α₂ равен

(8.4)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

(8.5)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0. (8.6)

 

Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М ₁(х₁, у₁, z₁), M ₂(x₂, y₂, z₂) и M ₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М₁М ₂ ={ x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁ }, М₁М ₃ ={ x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁ }и М₁М ={ x - x₁,y - y₁, z - z₁ }, где М(x, y, z) – произвольная точка плоскости, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

(8.7)

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

Способом, аналогичным изложенному в лекции 7, можно получить нормальное уравнение плоскости:

(8.8)

где р – длина перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на плоскость, а cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы нормали к этой плоскости. При этом расстояние от любой точки А пространства до данной плоскости определяется по формуле:

, (8.9)

где x₀,y₀,z₀ – координаты рассматриваемой точки А. Подмодульное выражение в формуле (8.9) называется отклонением точки А от плоскости и принимает положительные значения, если А и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательные, если эти две точки лежат по одну сторону от плоскости. Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D.

Доказательства всех сформулированных утверждений полностью аналогичны исследованию нормального уравнения прямой на плоскости, рассмотренного в лекции 7.