Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.Пусть V – линейное пространство, А – линейный оператор из , и – два базиса в V и – формулы перехода от базиса к базису . Обозначим через матрицу перехода от базиса к базису. Отметим, что ранг матрицы С равен n. Пусть и – матрицы оператора А в указанных базисах. Теорема 7.1. Матрицы А и оператора А в базисах и связаны соотношением . Доказательство. При воздействии линейного оператора А вектор пространства переводится в вектор этого пространства, т.е. справедливо равенство = А (7.3) (в старом базисе) и равенство = А (7.4) (в новом базисе). Так как – матрица перехода от старого базиса к новому, то (7.5) (7.6) Умножим равенство (7.5) слева на матрицу , получим А = АC и с учетом (7.3) = АC . Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с (7.6), получим: С = АC или = С –1 АC . Сравнивая найденное выражение с равенством (7.4), получим доказываемую формулу. Отсюда следует, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса …………………….. Как уже отмечалось, в пространстве Rn существует множество различных базисов. Пусть и — двабазиса в Rn. Обозначим и координаты векторов и из Rn и матрицу оператора A соответственно в базисах и , а — матрица перехода от базиса к базису , т.е. , ,
Тогда откуда имеем — формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса.
Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f, A = { a i j } = { A (e j) i }: Координаты образа y = A (x) и прообраза x связаны соотношеннием: y = A · x,
|