Закон инерции квадратичных форм.

Число слагаемых с положительными и отрицательными коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы постоянно и не зависит от способа приведения формы к каноническому виду (т.е. от выбора собственного базиса).

Билет 73 положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы

Квадратичная форма А называется:

1) положительно(отрицательно)-определенной, если для любого ненулевого выполняется неравенство А > 0 ( А < 0);Ясно, что положительно-определенная квадратичная форма приводится к сумме квадратов с положительными коэффициентами, а положительно-полуопределенная форма – с неотрицательными коэффициентами. Важным условием положительной определенности квадратичной формы является следующий критерий (критерий Сильвестра).Для того чтобы квадратичная форма А была положительно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные, или угловые, миноры

матрицы Теперь нетрудно найти и условия отрицательной определенности квадратичной формы. Для того чтобы квадратичная форма А была отрицательно-определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательны, а все главные миноры четного порядка – положительны. Теорема. Квадратичная форма положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А положительны (отрицательны).