Анализ содержания темы «Линии 2го порядка» в школьных учебниках по алгебре А. Г. Мордковича

Изучение функции начинается в 7 классе с § 37, где переход от линейной функции к квадратичной осуществляется на примере. (пусть x – сторона квадрата, y – его площадь, то ). Затем независимой переменной x дают конкретные значения, чтобы рассчитать значения y и вводится таблица вида:

x
y

Вводится понятие таблица значений, а затем полученные координаты строятся в прямоугольной системе координат. И сразу же говорится, что построенная линия называется параболой. Далее перечисляются геометрические свойства параболы:

1. симметричность относительно оси OY;

2. дается определение ветвей параболы;

3. вершина и её координаты;

4. наибольшее и наименьшее функции;

5. Убывание, возрастание;

6. Фокус параболы.

Построение функции и , сравнивание, и анализ графика.

Весь материал представлен параллельно с примерами и изображенными графиками функций.

Функция рассматривается в 8 классе в 3-ей главе § 17. И здесь говориться о том, что функция аналогична функции при a=1. Затем рассматриваются функции, и , составляется таблица значений, строятся графики (наглядность построения) и сравниваются. Затем идет пояснение, что каждая линия- парабола, а осьy–ось симметрии. Далее рассматривается случай при a=-1, выполняется построение графика, и делается вывод о направлении ветвей параболы. После чего дается определение функции . Отдельным пунктом автор выделяет свойства при a>0:

1. Область определения функции (-∞;+∞);

2. y=0 при x=0;y>0 при x≠0;

3. Непрерывна;

4. y_наим=0 при x=0, y_наиб– не существует;

5. возрастает при x≥0 и убывает при x≤0;

6. ограничена снизу, не ограничена сверху;

7. Область значений функции - луч [0;+∞);

8. Функция выпукла вниз.

И при a<0 с непосредственной опорой на геометрическую модель-параболу.

После теоретической части идут непосредственно, задания на усвоение:

1) Найти наиб. И наим. Значения функции на отрезках: [0;2], [-2;-1], [-1;1,5].

2) Решить уравнение и другие.

Задания на закрепление, охватывают всю теоретическую часть и представлены в большом количестве. Здесь приведены задания на построение функции как в явной форме, так и построение линии по заданным значениям, свойствам. Также имеются задания на исследование уже построенных функций по рисункам.

В 8 классе с § 37 изучается функция и её свойства. Изучение начинается с рассмотрения многочлена , где a,b,c-числа, причем a≠0. И поясняется, что это квадратичный трехчлен. Затем рассматривается функция и дается ее определение. При этом рассматривается несколько функций: и делается обобщение, что эти функции являются квадратичными. Автор предлагает рассмотреть квадратный трехчлен и путем преобразований привести его к виду , где . Затем вводится формула и поясняется, что это формула для вычисления вершины параболы.

При этом дается задание: Не выполняя построения графика функции , ответить на следующие вопросы:

1. Какая прямая служит осью параболы?

2. Каковы координаты вершины параболы?

3. Куда направлены ветви параболы?

После построения графика данной функции вводится алгоритм построения параболы .

Практическая часть содержит большой объем заданий: легких, средней сложности и повышенной сложности.

В 8 классе в § 18 Мордкович предлогает познакомимся с функцией , где коэффициент k может принимать любые значения, кроме k=0. И предлагается рассмотреть функцию при k=1, составляется таблица значений при x>0, и строится график функции , а затем при x<0. Дальше говориться, что этот график функции называется гиперболой. По чертежу перечисляются основные свойства:

1) Гипербола симметрична относительно центра;

2) Имеет две асимптоты: ось x и ось y;

3) Имеет оси симметрии: y=x и y=-x.

Затем дается пример: Найти наименьшее и наибольшее значение функции : на отрезке [1/2;4], на полуинтервале [-8;-1] и подробно расписывается ход действий.

Далее вводится определение графика функции .

И поясняется, что две величины x и y обратно пропорциональны, если они связаны отношением xy=k (где k – число, отличное от нуля)

Дальше автор по отдельности выделяет свойства функции при k>0 и при k<0. Для усвоения изученного материала предлагается решить уравнение .

Практическая часть для закрепления и усвоения данного материала содержит большое количество заданий трех уровней сложности. При этом это задачи как на построение графика функции, так и на исследование его свойств по строящимся чертежам, так и по готовым рисункам.